핵의 구조

핵의 스핀과 자기모멘트

핵은 스핀양자수 1/2의 페르미온이다.

핵자(양성자와 중성자)는 전자와 같이 스핀양자수 $s=\frac{1}{2}$인 페르미온이다. 따라서 이들의 스핀의 크기는 \[ S=\sqrt{s(s+1)} \hbar = \frac{\sqrt{3}}{2} \hbar \] 이다. 또한 아래 그림에서 형상화시킨 것처럼 스핀의 자기양자수($m_s$)는 $\pm\frac{1}{2}$의 두 상태가 존재한다. 즉, $S_z = \pm\frac{1}{2}\hbar$이다. 아래 그림에서는 처음에 $\uparrow$ 상태를, '역회전'을 선택해서 $\downarrow$ 상태를 나타내고 있다.

위 그림에서 보는 것처럼 스핀 각운동량 $\vec{S}~$와 자기쌍극자모멘트 $\vec{\mu}~$는 각각 질량과 전하가 회전하는 것 때문에 생기고, 둘 모두 회전각속도 $\vec{\omega}~$에 비례하기 때문에 다음과 같이 $\vec{S}~$와 $\vec{\mu}~$도 서로 비례한다. \[ \vec{\mu}=\gamma\vec{S} \] $\gamma$는 이 둘의 변환비율로 자기회전비율이다. 이 값은 양자장론으로 계산되는 데 양성자의 경우 $+$의, 중성자나 전자의 경우 $-$의 고유한 값을 각각 가진다.

현대물리 단원의 '전자의 스핀' 절에서 전자의 스핀이 만드는 자기쌍극자모멘트를 도입했던 것과 비슷하게 핵자도 스핀에 의한 자기쌍극자모멘트를 도입해보자. 단 이 경우에는 보어 마그네톤에서의 전자의 질량 대신 양성자 질량을 그 기준으로 삼아서 다음과 같은 핵 마그네톤(nuclear magneton)을 단위량으로 한다. \[ \mu_N = \frac{e\hbar}{2m_p} = 5.051 \times 10^{-27} ~ \mathrm{J/T} = 3.152 \times 10^{-8} ~ \mathrm{eV/T} \] 이제 양성자와 중성자의 스핀각운동량과 자기모멘트의 관계를 다음과 같이 핵 마그네톤으로 나타낸다. \[ \begin{equation} \label{eq01} \vec{\mu}_p = g_p \mu_N \left(\frac{\vec{S}}{\hbar}\right), ~~~~~ \vec{\mu}_n = g_n \mu_N \left(\frac{\vec{S}}{\hbar}\right) \end{equation} \] 여기서 $g_p$와 $g_n$은 각각 양성자와 중성자 각각의 g-인자로서 고전적인 궤도운동에서의 궤도각운동량과의 관계라면 양성자의 경우는 $1$, 중성자의 경우는 $0$이겠지만 스핀각운동량의 경우에는 다음처럼 이에 크게 벗어난 값을 가진다. \[ g_p = 5.585~691, ~~~~~ g_n = -3.826~084~ \] 이들 값은 기본입자의 하나인 전자의 $g_e \approx 2$보다도 더 크다. 또한 중성인 중성자가 자기모멘트를 가진다는 것도 특이하다. 그러나 이는 알짜 전하는 중성이지만 전하의 입체적인 분포 때문이라고 생각할 수 있다.

핵자에 자기장이 걸렸을 때는 이 특정한 방향($z$)으로의 자기모멘트의 성분은 $S_z = \pm\frac{1}{2}\hbar$으로부터 계산할 수 있다. \[ \mu_{pz} = \pm 2.793 ~\mu_N, ~~~~~ \mu_{nz} = \mp 1.913 ~\mu_N \] 자기퍼텐셜에너지가 $U_m = - \vec{\mu} \cdot \vec{B}$ 이므로 $\pm$의 두 상태에 따라 에너지가 $\Delta E = 2 |\mu_z| B$ 만큼 분리된다. 예를 들어 양성자의 경우 $\downarrow$ 상태는 $\Delta E$에 해당하는 광자를 방출하고 이보다 더 낮은 $\uparrow$ 상태로 전이할 수 있을 것이다. 이 광자의 각진동수는 \[ \begin{equation} \label{eq02} \omega_L = \frac{\Delta E}{\hbar} = \frac{2|\mu_z| B}{\hbar} = \left| \frac{ge}{2m_p} \right| B = |\gamma| B \end{equation} \] 이다. 여기서 $\gamma$는 $|~~|$ 속의 값으로 바로 자기회전비율이다. $\gamma$의 표현에서 $g$는 양성자의 경우 $g_p$, 중성자의 경우 $g_n$이다. 일반적인 핵의 경우에는 각각의 $g$가 다르고, 따라서 $\gamma$도 다르게 주어질 것이다. 여기서의 광자의 진동수는 $\uparrow$과 $\downarrow$의 에너지 차이로 계산했으므로 양자론을 적용한 것이다. 한편 고전론에서라면 자기장이 만드는 토크에 의해 세차운동을 하게 되고, 이의 진동수가 라모 진동수(Larmor frequecny)로 앞의 식과 같이 표현된다.

\eqref{eq02} 식을 양성자에 국한시켜서 더 살펴보자. 이를 $\omega_L = 2\pi\nu_L$의 $\nu_L$로 다시 나타내면 \[ \begin{equation} \label{eq03} \nu_L = \frac{\gamma_p}{2\pi} B = \gamma'_p B \end{equation} \] 이고, 여기서의 $\gamma'_p$는 알려진 상수값들로부터 다음과 계산된다. \[ \gamma'_p = 4.257~745 \times 10^7 ~\text{Hz/T} \] 따라서 보다 실용적인 관계식은 \[ \nu_L~(\text{MHz}) = 42.577~451~ B ~(\text{T}) \] 으로 자기장을 T 단위(Tesla: 테슬라)로 했을 때의 라모 진동수를 MHz 단위로 계산하게 한다. 예를 들어 양성자의 경우 5 T의 자기장이 걸리면 라모 진동수는 ~213 MHz 정도 되어 통상의 전자회로로 발진 시킬 수 있는 라디오파의 영역이다.

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세차운동의 운동방정식

어떤 계에 걸리는 토크(torque)는 이의 각운동량을 다음과 같이 변화시킨다. \[ \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau} \] 자기쌍극자모멘트에 자기장이 걸리는 경우의 토크는 \[ \vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B} \] 이다. 따라서 둘을 조합하고, 또한 $\vec{\mu}=\gamma\vec{S} \Rightarrow\gamma\vec{L}$의 관계를 써서 정리하면 다음의 $\vec{\mu}$에 대한 고전적인 운동방정식을 얻을 수 있다. \[ \frac{d\vec{\mu}}{dt} = \gamma \vec{\mu} \times \vec{B} \] 이 식은 핵자에 자기장이 걸릴 때 자기모멘트가 $\vec{B}$의 방향을 중심으로 세차운동을 하는 것을 나타내는 데 이의 세차운동의 각진동수가 \eqref{eq02} 식의 바로 라모 진동수이다.

이 운동방정식을 양자역학적인 거동을 하는 개별 핵자에 적용할 수는 없지만 물질계에 포함된 많은 수의 핵이 보이는 열평형상태에서의 평균적인 행동은 이를 적용할 수 있다. 즉, 단위부피의 핵자의 총 자기모멘트인 자화량 $\vec{M}$은 \[ \begin{equation} \label{eq04} \frac{d\vec{M}}{dt} = \gamma \vec{M} \times \vec{B} \end{equation} \] 이다. 이 관계는 1946년 블로흐에 의해 평형을 쫓아가는 과도기적인 상태를 포함하도록 수정되어 블로흐 방정식(Bloch equation)으로 정리되었다. 실제로 개개 핵의 스핀상태는 상호작용으로 에너지를 교환하면서 평형상태에 이르게 되는 데 이 교환이 비교적 느려서 길게는 수 초의 시간이 걸리기도 한다. 따라서 이러한 이완(relaxation)의 효과를 더해서 \eqref{eq04} 식을 고쳐쓰면, \[ \begin{equation} \label{eq05} \frac{d\vec{M}(t)}{dt} = \gamma \vec{M}(t) \times \vec{B}(t) - \vec{R}(t) \end{equation} \] 으로 추가된 $\vec{R}(t)$이 이완에 관련된 항으로 각 성분별로 다음과 같다. \[ \begin{equation} \label{eq06} R_z(t) = \frac{M_z(t)-M_0}{T_1},~~~ R_{x}(t) = \frac{M_{x}(t)}{T_2},~~~ R_{y}(t) = \frac{M_{y}(t)}{T_2} \end{equation} \] 여기서 자기장 $\vec{B}(t)$은 기본적으로 $z$축으로 강한 값으로 일정하게 걸려있고, 시간에 따라 변하는 자기장은 이에 비해서 약하게 걸린다고 전제한다. 즉, \[ \vec{B}(t) = B_0 \hat{z} + \vec{B}_\text{rf}(t) \] 으로 라디오파에 의한 $\vec{B}_\text{rf}(t)$가 없다면 앞서 단일 핵자에 대해 살펴본 것처럼 $\vec{M}(t)$이 $z$축을 중심으로 \eqref{eq02}의 라모 진동수로 세차운동을 할 것이다. 이러한 평형상태일 때의 $M_z(t)$가 \eqref{eq06}에서의 $M_0$이다. 또한 $T_1$은 $\vec{M}(t)$의 $z$ 성분이 평행값으로 찾아가는 이완 기준값이고, $T_2$는 $x,~y$ 성분이 평행값으로 찾아가는 이완 기준값으로 둘 다 시간을 척도로 가진다.

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핵자기공명

어떤 핵에서 양성자나 중성자가 홀수 개가 있다면 이들이 만드는 총각운동량과 총자기모멘트는 서로 상쇄되지 않고 남아있게 된다. 단일 중성자나 양성자가 자기장이 걸렸을 때 낮고, 높은 두 에너지 상태로 나뉘는 것과 같이 이러한 핵은 자기장에서 두 상태, 혹은 총각운량에 따라 그 이상의 상태로 나뉜다. 보통 낮은 에너지 상태에 핵이 더 많이 머물게 되는 데 이때 라모진동수와 일치하는 라디오파가 주변에서 걸린다면 이의 에너지를 받아서 높은 에너지로 여기할 수 있게 된다. 이것이 핵자기공명(nuclear magnetic resonance: NMR)이다. 만일 공명을 시키는 라디오파의 진동수를 일정하게 하면서 자기장의 세기를 점점 크게하면 이의 라모진동수가 전파의 진동수와 일치하는 조건에 이르렀을 때 공명으로 라디오파가 최대로 흡수되는 조건을 찾을 수 있다.

실제로 핵은 주변에 전자가 둘러싸고 있는 원자나 분자상태로 있기 때문에 외부에서 걸어준 자기장이 온전히 핵에 전달되지는 않는다. 특히 분자를 구성하는 한 원자의 핵인 경우라도 주변 전자의 배치에 따라 자기장을 차폐하는 정도가 차이가 날 수 있다. 따라서 특정 핵의 공명조건을 찾아내면 그 원자의 분자에서의 결합상태가 차이나는 하나하나를 식별할 수 있을 것이다. 예를 들어 에탄올(ethanol)에 있는 수소원자 6개는 세 종류의 다른 결합을 하고 있어서 세 개의 다른 공명진동수를 가질 것이다. 라디오파의 진동수를 변화시켜서 분자의 공명진동수를 하나하나 찾아내는 것을 핵자기공명분광법(NMR spectroscopy)이라 한다. 이 방법은 분자의 구조와 화학반응을 이해하는 데 널리 쓰인다.

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