핵의 구조

핵의 반경과 밀도

핵은 종류에 관계없이 거의 같은 밀도를 가진다.

처음 러더퍼드가 원자의 구조를 알아내기 위해서 원자에 알파입자를 산란시킨 것처럼 핵의 내부 구조를 알아내기 위해서 역시 입자를 산란시킨다. 아래 그림은 핵에 전자를 산란시켜서 핵의 전하분포를 측정한 것으로 특히 무거운 핵에서는 대체로 핵의 종류에 관계없이 내부에서는 일정한 전하밀도($\rho$)를 하고 있다가 가장자리로 가면서 2 fm 정도의 두께에 걸쳐서 0으로 줄어든다. 여기서 길이의 단위로 fm을 쓴 것은 물론 femto-meter로 읽지만 핵물리학에서의 페르미(Enrico Fermi)의 업적을 기려서 fermi라고 읽기도 한다. 줄어드는 영역의 중심 정도에 핵의 경계가 있는 것으로 볼 수 있어서 핵의 반경을 추정할 수 있다. 예를 들어 다음과 같이 반경 $R$을 $r$의 RMS 값으로 추정해 볼 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq1} R^2 = \langle r^2 \rangle = \frac{\int d^3 \vec{r} ~ r^2 \rho(\vec{r})}{\int d^3 \vec{r} ~ \rho(\vec{r})} \end{equation} \] $\rho(\vec{r})$가 중심으로부터의 거리 $r$에만 의존한다면 이 식은 \[ R^2 = \langle r^2 \rangle = \frac{\int dr ~ r^4 \rho(r)}{\int dr ~ r^2 \rho(r)} \] 이 된다. 그러나 이 관계식은 약간의 수정이 필요한데, 예를 들어 모든 질량이 균일하게 반경 $R_0$에 쏠려있는 구를 생각해 보자. 즉 \[ \rho(r) = \begin{cases} \rho_0 & ~~ \text{for }~~r\le R_0 \\ 0 & ~~ r \gt R_0 \end{cases} \] 을 위 $R^2$의 계산에 적용해 보면, \[ R^2 = \frac{3}{5} R_0^2 \] 이 된다. 이러한 딱딱한 구의 반경은 명백히 $R_0$로 계산되어야 마땅하므로 \eqref{eq1} 식이 $R$의 정의로 적당하지 못한 것을 알 수 있다. 마지막 식에서의 비율 $3/5$을 반영해서 \[ \begin{equation} \label{eq2} R^2 = \frac{5}{3} \langle r^2 \rangle = \frac{5}{3} \frac{\int d^3 \vec{r} ~r^2 \rho(\vec{r})}{\int d^3 \vec{r} ~\rho(\vec{r})} \end{equation} \] 으로 정의하는 것이 실제에 더 가깝다고 볼 수 있다.

다음 그림은 몇몇 원자핵의 전하분포를 산란실험으로부터 측정한 것이다. 앞서 설명한 것처럼 일부 예외는 있지만 대체로 내부에서는 핵종에 무관하게 거의 비슷한 밀도를 가지다가 비슷한 기울기로 0으로 줄어드는 것을 알 수 있다.

산란실험으로 측정한 핵은 반경은 근사적으로 다음과 같이 핵자수 $A$에 의존한다. \[ R \cong r_0 A^{1/3} = 1.2\times 10^{-15} A^{1/3} ~\mathrm{m} \] 여기서 \[ r_0 \cong 1.2 \times 10^{-15} \mathrm{m} = 1.2 ~\mathrm{fm} \] 는 $A=1$의 핵의 반경으로 한 핵자의 반경으로 볼 수 있다. 이제 핵의 반경이 $A^{1/3}$, 즉 핵자수 $A$의 세제곱근에 비례한다는 것은 핵의 밀도가 핵종에 무관하게 다음과 같이 일정한 값을 가진다는 것을 뜻한다. \[ \rho \cong 2.4\times 10^{17} ~\mathrm{kg/m^{3}} \] 이는 핵 속에 있는 핵자들이 명백히 양자역학의 지배를 받지만, 마치 딱딱한 구가 그대로 쌓여 있는 듯한 형태인 듯이 행동한다는 것은 놀랄 만한 일이다.

[질문1] 태양의 질량은 2 x 10³⁰kg이고, 그 밀도는 1.4 x 10³kg/m³이다. 태양과 같은 질량을 가지면서 핵의 밀도를 가진다면 태양의 반경은 얼마가 될까? (이는 태양이 마지막으로 붕괴하여 중성자 별이 될 때의 밀도에 해당한다. 이때 태양이 마지막에 블랙홀이 될까?)

[질문2] 반경 1 cm의 구슬 모양을 한 가공의 핵이 있다고 하자. 이 속에 들어있는 핵자의 수($A$)는 몇 개 일까? 또한 이것의 질량은 얼마일까?

[질문3] 질량이 $M$인 별의 반지름이 $R=2GM/c^2$보다 작으면 빛이 방출되지 않는 블랙홀이 된다. 밀도가 원자핵과 같은 별이 있다고 했을 때 블랙홀의 조건에 딱 드는 별의 질량과 반지름은 얼마인가?

[질문4] 핵에서의 전자밀도의 그래프는 다음의 우즈-색슨 형태(Woods-Saxon form)의 함수와 닮아 있다. \[ \rho(r) = \frac{\rho_0}{1 + \exp \left( \frac{r-R_1}{a} \right)} \] 여기서 $R_1$이 중심에서의 밀도의 $1/2$이 되는 거리임을 보여라. 또한 거리의 차원인 $a$는 어떤 성질을 나타낼까? (여기서의 함수는 뒤에서 나오는 핵의 껍질모형에서의 우즈 색슨 퍼텐셜과 같은 형태로 서로 관련되어 있다)

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