가우스 빔과 공진이론

가우스 빔

가느다란 빛이 노는 방식은 어떠할까?

'레이저 공진' 단원에서 공진기 내부에 뛰노는 여러 광선들을 추적해서 어떤 조건에서 공진이 일어날 수 있는지 알아보았다. 그러나 광선은 파동을 근사적으로 보는 개념이기 때문에 공진기 내부에서 수없이 반사를 거듭하는 파동의 총체적인 모습을 다루는 데는 한계가 있다. 여기서는 파동론적인 고려를 통해서 레이저 빔의 특성을 알아본다.

레이저는 가늘고 긴 관 속에서 공명상태로 존재하다가 일부분이 밖으로 방출된다. 관 속에서 아주 잘 다듬어졌기 때문에 레이저는 보통의 빛과는 달리 좁은 영역에 파가 밀집되고, 비교적 잘 퍼지지 않는 특성을 가지는 데 이러한 파동을 빔(beam, 광속)이라 한다. 이 빔은 당연히 자유공간에서의 맥스웰 방정식을 만족해야 하는 데 진행방향에 대해 수직인 2차원 공간에서 극히 제한된 범위에서만 파동이 존재한다.

TEM 모드

우선 자유공간에서 전기장과 자기장은 다음처럼 발산이 0이다. \[ \eqalign{ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}&=& 0, \\ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B}&=& 0. } \]

빔이 존재하는 영역에서는 대체로 평면파와 비슷하게 행동을 하여 거의 $\mathbf{E} = \mathbf{E}_0 e^{i(kz-\omega t)}$의 함수꼴을 따른다고 생각하자. 이 교재에서는 평면파를 일관되게 이와 같은 형태로 표시하는 데 광공학 교재에서는 $\mathbf{E}_0 e^{i(\omega t-kz)}$처럼 표현하는 경우가 많다. 둘은 중간 서술식에서 모두 켤레(공액)을 취하면 같아진다. 이에대해서는 '편광에서 부호의 약속'을 참고하라.

자기장은 전기장과 같은 방식으로 이해되므로 전기장만 고려하고, 앞의 전기장의 식을 \[ \mathbf{\nabla}_T \cdot \mathbf{E}_T + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 \] 와 같이 진행방행에 수직한 성분($T$)과 진행방향 성분($z$)으로 나눈다. $E$의 $z$에 의존하는 성분이 $e^{ikz}$이라 하면 \[ \frac{\partial E_z}{\partial z} \sim ikE_z \sim i\frac{2\pi}{\lambda} E_z \] 이고 또한 $\mathbf{E}_T$는 반경 $D$인 빔 내부에 국소화 되어 있으므로 \[ \mathbf{\nabla}_T \cdot \mathbf{E}_T \sim \frac{E_T}{D} \] 따라서 \[ |E_z| \sim \frac{\lambda}{2\pi D} |E_T| \] 인 데 보통의 가시광선의 파장보다 $D$가 훨씬 크므로 $E_z$는 무시가능하다. $B_z$의 경우도 마찬가지여서 TEM 모드라고 한다.

전기장이 시간에 의존하는 항으로 $e^{-i\omega t}$를 포함하고 있다면 전기장의 파동방정식은 다음의 헬름홀츠 방정식으로 쓸 수 있다. \[ \left( \nabla^2 + \frac{\omega^2}{c^2} n^2 \right) E = 0 \] 여기서 \[ E(x, y, z) = E_0 \psi(x, y, z) e^{ikz} \] 으로 두자. $E$의 $z$에 대한 주된 부분은 $e^{-ikz}$항에 들어 있어 $\psi(x, y, z)$은 $z$에 크게 의존하지 않는다. 그리고 \[ k = \frac{\omega}{c}n \] 으로, 주어진 진동수 $\omega$에 대해 평면파일 때의 파수에 해당한다. 이제 다시 앞에서처럼 $\nabla^2$를 $T$와 $z$의 두 항으로 분리하면 \[ \left( \nabla_T^2 + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + \frac{\omega^2}{c^2} n^2 \right) E = 0 \] 이다. 이것을 $\psi(x, y, z)$가 만족하는 방정식으로 쓰면, \[ \nabla_T^2 \psi + 2 ik \frac{\partial \psi}{\partial z} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = 0 \] 인 데 $\psi$가 $z$의 의존성이 약하기 때문에 왼쪽의 마지막 항은 두 번째 항에 비해서 무시할 수 있다. 따라서 풀어야 할 방정식은 다음과 같이 된다. \[ \begin{equation} \label{eq11} \nabla_T^2 \psi + 2 ik \frac{\partial \psi}{\partial z} \approx 0. \end{equation} \] 여기서의 $z$을 시간 $t$로 보고 $T$를 공간의 2차원으로 보면 이는 퍼텐셜이 없는 2차원 슈뢰딩거 방정식과 같은 형식인 점이 흥미롭다.

진행 축에 대한 대칭인 빔 - 가우스 빔

진행하는 방향인 $z$축에 대해 빔이 대칭이라고 가정하자. 이제 $T$ 평면의 좌표 $x,y$ 부분을 $r=\sqrt{x^2+y^2}$으로 바꿀 수 있다. 따라서 앞 식은 \[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \psi(r, z)}{\partial r} \right) + 2 ik \frac{\partial \psi(r, z)}{\partial z} = 0 \] 이다. 이제 한 번 더 \[ \begin{equation} \label{eq13} \psi(r, z) = e^{i \frac{kr^2}{2 q(z)}} e^{iP(z)} \end{equation} \] 으로 놓고, 다시 위 식에 대입하면 다음 두 식을 얻게 된다. \[ q'(z) = 1 \] \[ P'(z) = \frac{i}{q(z)} \] 둘 다 쉽게 풀리는 데 처음 것은 \[ q(z) = z + q_0 \rightarrow z - iz_0 \] 인 데 여기서 $q_0$는 임의의 복소수로서 이의 실수 성분을 $z$에 흡수시키고 허수 성분을 $-z_0$로 표시한 것이다. 이제 $z$축의 원점은 마음대로 정할 수 있는 것이 아니라 특별한 의미를 가진 점으로 고정되었다.

둘째 방정식의 해는 다음과 같다. \[ iP(z) = -\ln \left\{ 1 + \left( \frac{z}{z_0} \right)^2 \right\}^{\frac{1}{2}} - i \tan^{-1} \left( \frac{z}{z_0} \right). \]

가우스 빔의 최종적인 표현

이제 최종적으로 이들로 해를 다음과 같이 조립해서 나타내자. \[ \begin{equation} \label{eq14} \eqalign{ E(r, z) &=& E_0 \left\{ \frac{w_0}{w(z)} \exp \left(-\frac{r^2}{w^2(z)} \right) \right\} \\ & & \times \exp \left[ i \left\{kz - \tan^{-1} \left(\frac{z}{z_0} \right) \right\} \right] \\ & & \times \exp \left( i \frac{kr^2}{2R(z)} \right). } \end{equation} \] 해 속에 포함된 $w(z)$, $R(z)$는 빔의 행동을 결정하는 특별한 의미를 가지고 있는 양으로서 모두 $z_0$와 관련되어 있다. \[ w^2(z) = \frac{2}{kz_0} (z_0^2 + z^2) = \frac{2z_0}{k} \left\{1 + \left( \frac{z}{z_0} \right)^2 \right\} = w_0^2 \left\{1 + \left( \frac{z}{z_0} \right)^2 \right\}, \] \[ \frac{1}{R(z)} = \frac{z}{z^2 + z_0^2}. \] 앞의 $E(x,y,z)$ 표현식에서 서로 곱해진 세 항 중 맨 위의 것은 진폭으로 $z$와 $r$에 따라 파의 진폭이 변하는 양상을 나타낸다. 그리고 둘째와 셋째는 위상으로 둘째는 $z$ 축으로 따른 위상의 변화를, 셋째는 주로 $r$에 따른 위상의 변화를 나타낸다. 위상은 밝기와 무관하므로 첫 식이 주된 고려대상으로 어느 $z$에서나 단면의 밝기 분포가 가우스 함수꼴을 하므로 가우스 빔이라 하는 것이다. 빔의 영역을 진폭이 중심에 비해서 $e^{-1}$로 줄어드는 지점까지로 삼으면 빔은 원형이 되고, 아울러 이의 반경이 $w(z)$가 된다. 따라서 $z=0$ 지점은 빔이 최고로 잘록한 허리 지점으로 고정된 것이다.

가우스 빔의 모양을 결정하는 양은 단 하나이다!

여기서 지금까지의 해석 과정을 유의해서 다시 살펴보자. \eqref{eq13} 식에서 $q(z)$가 복소수임을 고려하면 $z$가 일정한 지점에서는 언제나 빔의 단면이 가우스 분포를 전제하고 있는 것을 알 수 있다. 따라서 가장 일반적인 풀이를 한 것이 아니라 빔이 가우스 함수형을 유지하면서 진행하는 것은 어떠한가이다. 이 조건의 해를 찾을 수 없다면 이러한 빔은 존재하지 않을 것이나 마침 해를 찾을 수 있었다. 그리고 미분방정식의 풀이에서 임의로 도입할 수 있는 상수들 중 의미 있게 남은 것은 $z_0$ 하나 뿐이었다. 실제 다른 상수로는 $z$의 원점과 파동의 위상을 마음대로 지정할 수 있는 것이 있었으나 $z$의 원점을 고정하고, 상수의 위상은 무의미해서 둘 다 제거된 것이다. 이 $z_0$를 레일리 범위(Rayleigh range)라고 한다. $E(x,y,z)$ 표현식에는 $w_0$가 나타나 있는 데 이는 다음과 같이 $z_0$에 관련되어 있다. \[ w_0^2 = \frac{2z_0}{k} = \frac{\lambda z_0}{\pi} \] 파장, 즉 파수 $k$가 주어져 있으므로 빔의 모양을 결정하는 것은 $z_0$나 $w_0$ 둘 중 하나 뿐이다.

밝기는 가우스 함수꼴을 한다.

아래 그림은 $w_0$와 $z_0$를 변경할 때 빔의 퍼지는 모습이 어떻게 달라지는가를 보여준다. 빔의 모양은 $z$축에 대해 대칭이므로 잘록한 허리를 가지는 절굿공이의 형상을 하고 있다. 그리고 빔의 단면의 진폭은 2차원의 가우스 함수모양이다. 아래 그림에서는 $z$를 변화시켰을 때 빔의 단면의 밝기 분포나 진폭도 그래프로 확인할 수 있다. (앞서 언급한 것처럼 동일한 파장의 빔에 대해 $w_0$와 $z_0$를 동시에 마음대로 설정할 수 있는 것은 아니다. 둘 중 하나만 변경하면 당연히 빔의 파장이 달라질 수 밖에 없다)

빔의 어느 지점이건 단면의 밝기 분포는 가우스 함수 모양을 한다. 즉 중앙에서 가장 밝고, 가장자리로 나갈 수록 점진적으로 어두워진다. $r=w(z)$에 이르게 되면 중앙에 비해서 $e^{-2}$ 비율, 즉 13.5%가 되어 이곳까지를 빔의 영역으로 삼도록 한다. 따라서 $w(z)$는 $z$에서의 빔의 유효한 반경으로 그 의미를 부여할 수 있다.

빔의 허리의 길이는 $z_0$으로 대표된다. 빔은 그 허리에서 가장 밝고, 허리에서 멀어 질수록 점점 더 어두워진다. 이 비율을 결정하는 함수 역시 $w(z)$인 데 이는 빔의 반경이 커지면 면적이 넓어져서 이에 반비례하며 밝기가 줄어들 수 밖에 없기 때문이다. 따라서 $z$ 축을 따라가는 밝기는 $w^2(z)$에 반비례할 것을 쉽게 알 수 있는 데 이는 $E(x,y,z)$ 식의 첫째 항에서도 확인할 수 있다. $z = z_0$의 거리에 이르르면 $z=0$에 비하여 빔의 반경은 $\sqrt{2}$ 배로 되고, 밝기는 50%가 된다. 보통 빔이 집속되는 거리로 레일리 범위 $z_0$의 두 배를 삼게 되고, 이를 초점깊이(depth of focus: 초점심도), 혹은 공초점 거리(confocal length)라고 한다. 이 값은 다음과 같다. \[ b = 2 z_0 = k w_0^2 = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda} \]

한편 $|z|$가 $z_0$보다 매우 커지면 빔의 범위는 동일한 비율로 증가하게 되어 빔의 단면이 직선적으로 벌어진다. 여기서 빔이 퍼지는 각은 \[ \theta = 2 \tan^{-1} \frac{w_0}{z_0} \cong \frac{2w_0}{z_0} = \frac{2 \lambda}{\pi w_0} = 0.637 \frac{\lambda}{w_0} \] 으로 허리가 가늘수록, 파장이 길수록 넓게 퍼진다, 따라서 빔이 퍼지지 않게 가기 위해서는 허리 부분이 넓어야 하는 것을 알 수 있다.

파면은 점진적으로 원점을 중심으로 하는 구면을 이룬다.

$E(x,y,z)$에서 위상에 관련한 두 항은 파면이 거의 구면파의 일부분이라는 것을 말한다. 이 관계를 명확히 하기 위해 완전한 구면파를 표현해 보자. 원점에서 거리 $R$ 떨어진 구면파는 \[ \frac{1}{R} e^{ikR} \] 으로 표현할 수 있고, $R$이 크고, $z$축에서 크게 벗어나지 않는 지점에서는 \[ R = (z^2 + r^2)^{\frac{1}{2}} = z \left\{ 1 + \left( \frac{r}{z} \right)^2 \right\}^{\frac{1}{2}} \sim z+ \frac{r^2}{2z} \sim z+ \frac{r^2}{2R} \] 따라서 \[ \frac{1}{R} e^{ikR} \sim \frac{1}{R} e^{ikz} e^{i\frac{kr^2}{2R}} \] 이는 $E(x,y,z)$의 위상과 관련한 두 항에서 단지 $\tan^{-1}$ 만큼 차이가 있는 것인 데 이 항은 상수의 위상이므로 약간의 위상지연과 관련되어 있어 크게 문제가 되진 않는다.

원점에 가까워질 때 파면의 곡률반경이 매우 커져서 평면파로 되고, 원점에서 멀어지면 $R \Rightarrow z$가 되어 파면의 중심이 원점에 있는 구면파와 닮아간다.

아래 그림은 가우스 빔의 공간분포에서 밝기가 일정한 영역인 등고면을 보여준다. 빔이 허리에서 벗어나면 빔의 반경이 커지져서 밝기가 점차 줄어든다. 따라서 등고면은 $z$ 축방향으로 제한된 영역에 있게 되어 그림에서 볼 수 있는 것처럼 럭비공이나 땅콩 모양을 한다.

[질문1] 빔의 유효반경을 밝기가 중앙에 대해 $e^{-2}$ 비율이 되는 점까지로 삼았다. 이 반경에 포함된 에너지는 전체의 몇 %일까?

[질문2] 600 nm의 빔의 허리에서의 반경이 1mm이라면 최종적으로 퍼지는 각이 얼마일까? 이 레이저를 달까지 비추면 달에서 조명되는 반경은 얼마일까? 동일한 반경의 400 nm의 빔이라면 어떨까?

[질문3] 1mW의 He-Ne 레이저는 $\lambda$= 633 nm이고 허리에서의 빔의 직경이 0.1 mm이다. 이 빔이 퍼지는 각이 얼마일까? 이 빔의 초점심도는 얼마일까? 그리고 이 빔이 10000 km에 도달했을 때의 빔의 직경은 얼마일까?

[질문4] 두 $z = \pm z_0$ 지점에서의 구면파의 중심이 서로 상대 지점에 있는 것을 보여라.

[질문5] 가우스 빔의 임의의 단면에 대해 이를 통과하는 빛의 밝기를 적분하면 $z$에 관계없이 일정한 값 $E_0^2 w_0^2$에 비례함을 보여라.

[질문6] $E(x,y,z)$의 위상항으로부터 가우스 빔의 위상속도가 같은 파수의 평면파에 비해서 약간 빨라지는 것을 증명하라.

[질문7] 이차원의 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식과 \eqref{eq11} 식을 대응시켜라. 2차원 슈뢰딩거 방정식의 수치해석에 대해서 '양자파동의 운동 2'에서 다루고 있고, 이에 대한 모의실험과 비교할 수 있다.

[질문8] '가우스 빔의 3차원 모습'에서 'color map'을 선택하면 진폭의 등고면에 위상의 색채가 입혀진다. 여기서 색이 놓인 순서로서 빔이 진행하는 방향을 어떻게 알아낼 수 있을까?

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