가우스 빔과 공진이론

가우스 빔은 $w_0$나 $z_0$로 특징 지어지지만 $\theta$로 설명할 수도 있다. 단색에 대해 이들 세 값 중 하나가 결정되면 나머지들도 결정되므로 이들이 서로 관련된 형식을 이해하는 것이 중요하다. 특히 레이저 빔을 볼록렌즈로 집속하면 원래의 빔에 비해서 허리의 반경인 $w_0$과 집속되는 세로 범위라고 할 수 있는 $z_0$는 줄어들고, 반대로 퍼짐각 $\theta$는 커져서 곧 빔이 퍼져버린다.

다음 그림은 특정한 파장에 대해 퍼짐각을 달리할 때 가우스 빔이 어떻게 달라지는지 보여준다. 슬라이더나 체크박스를 이용해서 파장과 퍼짐각을 변화시켜서 빔의 모양과 $w_0$, $z_0$ 값이 달라지는 것을 살펴보자.

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가우스 빔_가우스 빔의 단면을 다양하게 나타낸다. 퍼짐각과 파장을 슬라이더로 조절할 수 있고, 파면과 진폭을 등고선 형태로 볼 수 있다. 한편 그림의 가로세로 격자의 한 칸은 1μm을 나타내고 '확대' 슬라이더로 보는 범위를 바꿀 수 있다.

프로그램 설명

1. 빔의 모양을 퍼짐각과 파장에 대해 살펴볼 수 있도록 하였다.

2. 화면에서 보이는 바둑판 무늬는 한 칸 간격이 1μm 이다. 그리고 가로(z), 세로(r)축에는 0.1μm 간격으로 세부적인 눈금을 매겼다.

3. 여기서 '퍼짐각' 슬라이더로 변경할 수 있는 값은 $\frac{w_0}{z_0}$로 실제로 기울기이다. 빔이 중심에서 멀리 벗어났을 때 양쪽으로 벌어지는 전체각 $\theta$는 이에 $2 \tan^{-1}$를 취해야 한다.

4. 파면보기를 선택하면 파면의 근사모양을 나타낸다. 실제로 파면의 간격은 파장과 일치시켰기 때문에 각각을 마루나 골로 보면 된다.

5. 진폭분포보기를 선택하면 같은 진폭에 대해 색채를 달리하여 표현하고 있다. 여기서 진폭을 허리의 가운데 진폭에 대해 0.05 ~ 0.95까지 0.05 간격으로 등고선을 표시하고 내부를 서로 다른 색으로 채운다.

6. '데이터복사' 버튼을 누르면 화면 영역의 진폭과 위상을 클립보드에 복사한다. 데이터는 가로로 $z$, 세로로 $r$의 N x M 형식이고, 진폭과 위상의 순서로 나열되어 있다. 이를 Excel 등 계산표 프로그램에 붙여넣어 진폭과 위상 각각에 대해 그래프를 그리거나 데이터 분석을 할 수 있다. 위상은 진행방향으로 증가하는 라디안 값으로 나타내었으며, 위 그래프의 '파면보기'에서 파면의 그림으로 나타낸 항과 $E(x,y,z)$의 위상항에 있는 $\tan^{-1}$까지 반영한 온전한 값이다.

관찰 사항

1. '퍼짐각'을 일정하게 하고 '파장'을 변화시켰을 때 빔의 허리부분이 달라지는 모습을 관찰해 보라. 허리의 반경이 파장에 어떻게 의존하는가?

2. '퍼짐각'을 최소로 하고 '확대'를 최소로 해서 시야를 가장 넓게 했을 때 파면의 모양을 살펴보라. 이것과 '퍼짐각'을 최대로 했을 때의 차이는 무엇인가?

3. 여러 '퍼짐각'과 '파장'에 대한 그래프 분석을 통해서 $w_0$, $z_0$를 추정하고, 이 결과를 화면 상단에 표시되는 값과 비교해 보라.

4. 데이터를 클립보드로 복사해서 Exel 등 분석 프로그램에 붙여넣고 등고선이나 3차원 그래프로 진폭의 분포를 그려보자. 또한 진폭을 제곱해서 밝기의 그래프도 그려보자.

5. 클립보드로 데이터를 복사하면 위상 데이터도 복사된다. 이 데이터를 Excel 등 프로그램을 통해서 분석해 보자. 특히 $z$ 축에 걸쳐있는 데이터를 살펴보면 파장이 앞에서 설정된 것과 약간 다르게 계산되는 것을 알 수 있을 것이다. 이 효과는 어디서 오는 것일까? 퍼짐각 등 조건을 달리해서 이 차이가 어떻게 다르게 나타나는지 알아보자.

아래 그림은 타원형 가우스 빔에서 밝기가 일정한 영역인 등고면을 보여준다. $x, y$의 각 평면에서의 허리 반경뿐만 아니라 허리의 위치도 달리 변경할 수 있다.

[질문1] 프로그램의 설명에서는 슬라이더의 파장 값을 nm로, 그래프의 눈금을 1μm로 하였다. 그러나 파장 $\lambda$, 허리의 반경 $w_0$, 밝기가 1/2 로 줄어드는 거리 $z_0$에 서로 동일한 거리의 단위를 붙여도 좋다. 이를 검증하라. (단 '파장' 슬라이더에 나타나는 값은 1/1000 배 해야 한다)

[질문2] 광픽업(optical pickup)은 레이저를 이용해서 CD, DVD 등의 광학적 저장매체의 신호를 읽는 데 쓰인다. 위 그래프를 이용해서 레이저의 파장이 짧아지면 매체의 기록밀도를 높일 수 있는 이유를 설명하라.

[질문3] 1 Mhz의 전파에 대해 빔의 퍼지는 각도 $\theta$가 5°를 유지하기 위해 허리에서 빔의 반경이 얼마여야 할까?

[질문4] 빔의 단면이 가우스 함수 모양일 때 회절이 최소한으로 일어나서 빔이 멀리까지 전달 되는 것을 회절이론으로 증명하라. (푸리에 변환을 이용해서 검증할 수 있다. 그리고 '회절과 푸리에 변환' 단원의 '프라운호퍼 회절과 푸리에 변환'에서 이에 대한 이론을 참고할 수 있다)

[질문5] 음파도 빛과 같이 행동한다고 하자. 파장이 1m인 음파가 5° 이내로 퍼지기 위해서 빔의 허리에서의 반경이 얼마 이상이어야 할까? (위 프로그램에서 거리의 단위를 m로 생각해서 5°로 퍼지는 반경을 관측하라)