가우스 빔과 공진이론

가우스 빔과 광선행렬

자유공간에서의 가우스 빔은 가우스 분포의 단면을 유지하면서 진행하는 것을 알아보았다. 허리에서 단면이 최소가 되었다가 그 지점을 지나면 다시 단면이 커진다. 이때 이 빔의 특성은 오직 허리에서의 반경 $w_0$로 결정된다. 그렇다면 이 빔이 렌즈를 통과하거나 거울에서 반사할 때는 어떻게 행동할까?

자유공간에서의 가우스 빔의 변환

이를 위해 우선 빔을 기술하는 본질적인 요소가 되는 $q(z)$를 살펴보자. \[ \frac{1}{q(z)} = \frac{1}{z-iz_0} = \frac{z}{z^2 + z_0^2} + i \frac{z_0}{z^2 + z_0^2} = \frac{1}{R(z)} + i \frac{2}{kw^2(z)} \] 따라서 $z$ 축을 따라가면서 달라지는 복소수 값 $q^{-1}(z)$는 실수부가 곡률과, 허수부가 빔의 반경과 관련되어 있는 것을 알 수 있다. 만일 이 빔이 자유공간을 그저 진행한다면 $z \rightarrow z+d$가 되므로 \[ q_2 = q_1 + d \] 이다.

렌즈에서 가우스 빔의 변환

이제 초점거리가 $f$인 렌즈에서의 행동을 알아볼 차례이다. 렌즈는 위 그림에서 알 수 있는 것과 같이 곡률이 $R_1$인 구면파의 빛이 들어올 때 곡률이 $R_2$인 빛으로 굴절시킨다. 이때 \[ \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_1} - \frac{1}{f} \] 여기서 파면의 곡률반경을 말할 때는 구면의 중심이 왼쪽에 있을 때를 $+$ 값으로 하였기 때문에 위 그림과 같은 상황이라면 $R_1 \gt 0$이지만 $R_2 \lt 0$이다. 그리고 빔의 반경은 (얇은) 렌즈를 통과할 때 변하지 않으므로 \[ w_2 = w_1 \] 이다. 따라서 $R$과 $w$의 변환관계를 $q$에 적용하면 \[ \frac{1}{q_2} = \frac{1}{q_1} - \frac{1}{f} \] 혹은 \[ q_2 = \frac{q_1}{-\frac{1}{f} q_1 +1} \] 을 얻는다.

가우스 빔은 광학기구의 광선행렬로 변환된다.

앞의 자유공간에서나 렌즈(거울)에서 $q$가 변하는 형식은 \[ \begin{equation} \label{eq1} q_2 = \frac{A q_1 + B}{Cq_1 +D} \end{equation} \] 로 표현할 수 있는 데 이는 실제로 보편적으로 성립한다. 여기서 $A, B, C, D$ 네 요소를 $2 \times 2$ 행렬을 쓰면, 자유공간에서 $d$ 진행하는 경우에는 \[ T_d = \left[\array{ 1 & d \\ 0 & 1 } \right] \]

렌즈의 경우 \[ T_f = \left[\array{ 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 } \right] \] 이다. 빔의 진행을 결정하는 행렬이 광선의 진행을 결정하는 광학 행렬과 같은 형식으로 표현된다는 것은 놀랄 만한 일이다. 실제로 이 동등성은 일반적으로 성립하는 데 이를 증명하는 것은 매우 어렵다. 그러나 렌즈와 거울의 조합으로 이루어진 매질이나 이와 유사한 상황에서는 지금까지 전개에서 본 것처럼 동등성이 쉽게 확인된다.

[질문1] \eqref{eq1} 식의 형태로 표현되는 $q$의 변환이 2개 거듭될 때 각각의 행렬의 곱이 전체변환을 나타내는 것을 검증하라.

[질문2] 초점거리가 $f$인 렌즈를 막 지나서 $d$만큼 진행했을 때의 $ABCD$ 행렬이 다음과 같음을 보여라. \[ \left[\array{ 1 - \frac{d}{f} & d \\ -\frac{1}{f} & 1 } \right] \]

_ 광선의 진행_ 초점거리_ 구면파_ 복소수_ 광축_ 거울_ 파면