가우스 빔과 공진이론

가우스 빔의 집속

볼록렌즈는 빔을 집속시켜서 허리를 가늘게 하지만 곧 발산시켜 버린다.

CD나 DVD에서 신호를 읽을 때 레이저를 그 표면에 비추어 반사되는 빛을 이용한다. 따라서 레이저의 빔의 크기를 줄일 수 있으면 기록밀도를 높일 수 있을 것이다. 레이저에서 나오는 빔은 볼록렌즈로 집속해서 매체에 비추게 되는 데 가우스 빔의 성질 때문에 초점 가까이에 허리를 만들지만 한 점에 모이지는 않는다.

위 그림은 초점거리가 $f$인 볼록렌즈에 레이저가 입사해서 집속되는 상황이다. 입사하는 빔은 렌즈 위치에 허리가 있다. 따라서 렌즈에는 평면파로 입사하므로 렌즈의 초점에 집속될 것으로 예상할 수 있다. 그러나 실제로 위 그림을 조건을 바꾸어서 살펴보면 초점과 약간 어긋난 것을 알 수 있다. 더구나 가장 크게 집속되는 지점에서의 빔의 폭도 0 이 아니다. 이에 대해 체계적으로 해석하기 위해 앞서 광선행렬을 도입해서 빔의 $q$값을 계산해 보자.

렌즈로 막 입사하는 빔의 $q_1$은 그 지점이 빔의 허리이므로 이의 실수 값은 0 이고 허수 값만 있게 되어 \[ q_1 = \frac{kw_0^2}{2i} \] 이다. 렌즈와 그 이후 거리 $d$ 만큼 진행하는 것에 대한 광선행렬 \[ \left[\array{ 1 - \frac{d}{f} & d \\ -\frac{1}{f} & 1 } \right] \] 을 $q_1$에 적용하면 렌즈를 통과한 지점에서 $d$ 거리만큼 더 진행한 지점의 $q_2$를 구하게 된다. 이는 $d$의 함수이므로 $q(d)$로 표기하자. \[ q(d) = \frac{\left( 1 - \frac{d}{f} \right) \left(\frac{kw_0^2}{2i} \right) + d} { -\frac{1}{f} \left(\frac{kw_0^2}{2i} \right) + 1} \] 이를 $q^{-1}(d)$로 바꾼 후 실수부와 허수부를 분리하면 렌즈를 통과한 빔의 $d$ 위치에서의 파면의 곡률반경 $R(d)$와 빔 단면의 반경 $w(d)$를 다음과 같이 표현할 수 있다. \[ R(d) = \frac{\left( \frac{d}{z_0} \right)^2 + \left( 1 - \frac{d}{f} \right)^2 } {\frac{d}{z_0^2} - \frac{1}{f} \left( 1 - \frac{d}{f} \right)}, \] \[ w^2(d) = w_0^2 \left( 1- \frac{d}{f} \right)^2 + w_0^2 \left( \frac{d}{z_0} \right)^2. \] 허리가 존재하는 지점은 $d=f$인 지점에서 벗어나 있는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 허리에서 빔이 평면파인 것을 고려하면 $R$이 무한대가 되는 지점이고 한편 $w(d)$가 최소가 되는 지점이기도 하다. 이 중 아무거나 이용해도 이를 구할 수 있다. 이렇게 구한 허리의 위치는 \[ d = \frac{f}{1+\frac{f^2}{z_0^2}} ~ ~ \approx ~ ~ f \] 이 지점에서의 허리의 반경, 즉 새로운 $w_0$, 즉 \[ \begin{equation} \label{eq1} w'_0 = \frac{2f}{kw_0} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{f^2}{z_0^2}}} ~ ~ \approx ~ ~ \frac{2f}{kw_0} = \frac{f \lambda}{\pi w_0}. \end{equation} \] 이다. 두 식에서 $\approx$인 경우는 $z_0$가 $f$보다 훨씬 큰 경우에 성립한다. 보통의 레이저는 빔의 반경이 1mm 정도로 이 경우 $z_0$가 수 m 가 되어 근사식이 거의 정확하다.

볼록렌즈로 집속된 빔의 특성

레이저에서 나오는 빔의 허리에서 볼록렌즈로 집속하는 실제의 상황을 생각해 보자. 렌즈의 반경을 $w_0$로 한다면 에너지의 약 86%만 전달하고, 아울러 원형구멍의 회절효과가 새로운 빔의 허리에 나타난다. 따라서 보통 렌즈의 반경을 이보다 큰 $\frac{\pi}{2}w_0$, 즉 직경을 $D=\pi w_0$로 한다. 이 경우 99% 이상의 에너지가 전달되고 빔이 거의 손상되지 않는다. 이렇게 해서 집속된 빔의 허리에서의 직경은 $d_0 = 2w'_0$로 두자. \eqref{eq1} 식은 $D$와 $d_0$ 사이의 관계로 다시 정리된다. \[ d_0 \approx \frac{2f\lambda}{D} \]

렌즈의 f-수(f number)가 \[ f^\# = \frac{f}{D} \] 이므로 앞의 관계는 다음의 실용적인 관계로 된다. \[ d_0 \approx 2f^\# \lambda \]

[질문1] 직경이 $D$이고 초점거리가 $f$인 볼록렌즈로 평면파를 집속하면 필연적으로 초점에 원형구멍의 회절무늬가 나타날 것이다. 이때의 에어리 원판을 빔의 유효한 범위로 본다면 이 직경은 위 $d_0$의 1.22 배가 되는 것을 보여라.

[질문2] 빔의 허리 반경이 1 cm이고 파장이 633 nm인 가우스 빔이 초점거리 4 cm인 볼록렌즈로 집속된다. 볼록렌즈가 빔의 허리에 있다고 할 때 이에 의해 집속되는 빔의 최소 빔 반경은 얼마인가? 이 빔이 멀리 진행했을 때 퍼지는 각은 얼마인가?

_ 에어리 원판_ 광선행렬_ 볼록렌즈_ 초점거리_ 평면파_ 레이저_ 진폭_ 회절_ 파면