가우스 빔과 공진이론

공진기 내의 가우스 빔

마주보는 오목거울로 된 공진기 속에서 가우스 빔이 빚어진다.

다음 그림은 양쪽에 오목거울이 서로 마주보고 있어 그 속에서 빔이 공명상태로 있는 상황을 보여준다. 양쪽 거울과 만나는 지점의 가우스 빔의 파면이 거울면과 정확하게 일치되어 있어 빔이 거울에서 같은 모양으로 반사된다. 따라서 그림이 처음에 나타나는 조건으로 되었을 때는 안정된 상태를 유지할 수 있다. 프로그램에서는 거울의 곡률반경 $R_1$과 $R_2$를 조절할 수 있는 데 이에 따라 그 속에서 안정된 상태로 있을 수 있는 빔이 새로이 형성되고, 만일 존재할 수 없으면 '공명상태 만들지 못함'이 표시된다. 어떤 조건에서 공명된 빔이 뛰놀 수 있을까?

거울의 곡률반경과 빔의 파면의 곡률반경이 일치하면 반사되는 빔도 입사하는 빔과 동일한 형태를 하게 될 것이다. 경우에 따라서는 이러한 조건에 충족되는 빔이 존재하지 않을 수 있는 데 이때에는 안정된 상태의 빔이 형성되지 못하고 빔이 발산하게 된다.

두 오목거울의 곡률반경 $R_1$, $R_2$은 모두 $-$ 값으로 하는 규약(convention)을 따르고 파면의 곡률반경을 말할 때 오른쪽 방향으로 발산할 경우 +, 수렴하는 경우 $-$로 삼는 규약을 채택하는 것을 유의하여 이들을 관련시키면 된다. $z$ 좌표의 원점이 빔의 허리가 되므로 왼쪽의 오목거울의 위치 $z_1$은 음의 값을, 오른쪽 오목거울의 위치 $z_2$는 양의 값을 가질 것이다. 두 거울의 간격 $d$는 \[ d = z_2 - z_1 \]

두 지점에서 파면의 곡률반경은 각각 \[ R_1 = R(z_1) = z_1 \left\{ 1 + \left( \frac{z_0}{z_1} \right)^2 \right\}, \] \[ R_2 = -R(z_2) = -z_2 \left\{ 1 + \left( \frac{z_0}{z_2} \right)^2 \right\} \] 이다. 이제 위 세 방정식에서의 $z_0, z_1, z_2$가 미지수가 되므로 이들을 연립시키면 다음과 같은 해가 구해진다. \[ z_0^2 = \left( \frac{\pi w_0^2}{\lambda} \right)^2 = - \frac{d(R_1+d)(R_2+d)(R_1+R_2+d)}{(R_1+R_2+2d)^2}, \] \[ z_1 = -\frac{d(R_2+d)}{R_1+R_2+2d}, \] \[ z_2 = \frac{d(R_1+d)}{R_1+R_2+2d}. \]

구해진 해가 의미가 없는 경우도 있는 데 의미 있는 해가 존재하는 조건은 \[ 0 \leq \left( 1 + \frac{d}{R_1} \right) \left( 1 + \frac{d}{R_2} \right) \leq 1 \] 이다. 이는 '레이저 공진' 단원의 '거울 사이에 갇힌 광선'에서의 광선이 갇혀있기 위한 조건과 동일하다.

[질문1] $-R_1 = -R_2 = d$ 인 경우는 맞은편 거울에 초점이 있는 형식으로 공초점 공진기(confocal resonator)의 한 경우이다. 위 프로그램에서는 $-R_1=-R_2 = 20$으로 설정하면 이러한 조건이 된다. 이 경우 $z_0=-z_1=z_2 = \frac{d}{2}$의 빔이 안정된 상태로 발진할 수 있음을 보여라. 그리고 $w_0$의 표현식을 쓰고 이 빔의 특성을 설명하라.

[질문2] 파장이 633 nm인 헬륨-네온 레이저를 설계한다. [질문1]의 형식의 공진기로 그 길이를 1 m 로 한다면, 관의 직경은 얼마 이상으로 설계해야 할까? 거울 지점에서 빔 반경 $w$에 대해 $\pi w$이상의 직경으로 해야 1% 이하의 손실로 효율적인 발진이 일어난다고 하자. 또한 길이가 10 m 라면 관의 직경이 얼마 이상이어야 할까? 이렇게 설계한 관을 10.6 ㎛ 의 이산화탄소 레이저의 공진기로 사용하기 위해서는 무엇을 변경해야 할까?

[질문3] 질문 2 의 10 m의 헬륨-네온 레이저에서 빔이 퍼지는 각은 얼마인가?

[질문4] 한쪽이 평면거울이거나 볼록거울이라도 안정된 공진기가 될 수 있다. 특히 하나를 평면거울을 쓰는 경우 빔의 허리가 이 평면거울에 존재한다. 이에 대한 빔의 특성을 설명하라. 이러한 설계로 1 m 의 헬륨-네온 레이저를 만든다고 했을 때 다른 하나는 반드시 오목거울이어야 한다. 이를 검증하고, 아울러 이 오목거울의 곡률반경의 범위는 얼마인가? 이 범위 내에서 곡률반경을 달리하여 설계할 때 거울의 최소 직경, 즉 관의 직경이 어떻게 달라질까?

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