가우스 빔과 공진이론

에르미트-가우스 빔

광축에 대해 대칭이 아닌 빔

레이저 공진기가 평면거울이나 오목거울로 되어 있고 광축에 대해 축대칭으로 배치되어 있으므로 이 광축을 $z$축으로 하는 가우스 빔이 빚어지기 쉽다. 그러나 경우에 따라서는 광축 $z$에 대한 축대칭을 가지지 않는 빔도 존재할 수 있다. 이를 알아보기 위해 다시 다음의 빔 방정식에서 출발하자. \[ \nabla_T^2 \psi + 2 ik \frac{\partial \psi}{\partial z} = 0. \]

지금까지는 빔이 $z$축에 대해 대칭이라 가정하여 $x,y$ 대신 $r$에 대한 의존성만 있는 것을 하였으나 여기서는 이러한 전제를 하지 않는다. 이제 다음 빔을 가정한다. \[ \psi(x, y, z) = X\left( \frac{x}{w(z)} \right) Y\left( \frac{y}{w(z)} \right) e^{i \frac{k(x^2 + y^2)}{2 q(z)}} e^{iP(z)}. \] 여기서의 $w(z)$, $q(z)$는 앞서 가우스 빔에서의 것을 도입한다. 위 식을 빔 방정식에 대입하는 데 우선 \[ \xi = \frac{x}{w(z)}, ~ ~ \eta = \frac{y}{w(z)} \] 으로 치환한다. 이제 빔 방정식은 다음과 같이 $\xi, \eta, z$의 부분으로 나누어진다. \[ \frac{1}{X(\xi)} \left( \frac{d^2 X}{d \xi^2} - 4 \xi \frac{dX}{d\xi} \right) + \frac{1}{Y(\eta)} \left( \frac{d^2 Y}{d \eta^2} - 4 \eta \frac{dY}{d\eta} \right) + \left( \frac{2ik}{q(z)} + 2k \frac{dP(z)}{dz} \right) w^2(z) = 0. \] 여기서 $\xi, \eta, z$에 의존하는 항을 각각 $-4l, -4m, 4(l+m)$으로 놓고 풀이하면 다음과 같이 $X(\cdot)$, $Y(\cdot)$, $P(z)$의 세 해가 구해진다. \[ X\left( \frac{x}{w(z)} \right) = H_l \left( \sqrt{2} \frac{x}{w(z)} \right), \] \[ Y\left( \frac{y}{w(z)} \right) = H_m \left( \sqrt{2} \frac{y}{w(z)} \right), \] \[ iP(z) = -\ln \left( 1 + \frac{z^2}{z_0^2} \right)^{\frac{1}{2}}- i(l+m+1) \tan^{-1} \left(\frac{z}{z_0} \right). \] 여기서 $H_{m}(\cdot)$ 함수는 에르미트 다항식으로 $l, m$은 각각 $0, 1, 2, ... $이다.

이제 이들을 조립하면 다음과 같은 빔이 존재할 수 있음을 알 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq8} \eqalign{ E_{l,m}(x, y, z) &=& E_0 \left[ \frac{w_0}{w(z)} H_l \left( \sqrt{2} \frac{x}{w(z)} \right) H_m \left( \sqrt{2} \frac{y}{w(z)} \right) \exp \left(-\frac{x^2 + y^2}{w^2(z)} \right) \right] \\ & & \times \exp \left[ i \left\{ kz - (l+m+1) \tan^{-1} \left(\frac{z}{z_0} \right) \right\} \right] \\ & & \times \exp \left\{ i \frac{k(x^2 + y^2)}{2R(z)} \right\}. } \end{equation} \] 여기서의 $R(z)$도 가우스 빔과 마찬가지로 표현되어 허리에서 멀리 떨어진 곳에서의 파면의 곡률반경이다. 이러한 빛을 에르미트-가우스 빔(Hermit-Gaussian beam)이라 한다. 이 빔은 $z$축에 대한 진행 양상은 위상에서의 약간의 차이를 제외하고 보통의 가우스 빔과 거의 같지만 빔의 단면의 모양은 확연히 다르다. '조화진동자의 양자론'에서 에르미트 다항식의 그래프를 참조하면 $H_{m}(\cdot)$는 $m$개의 마디점이 있는 것을 알 수 있다. 따라서 $E_{l,m}$의 빔은 $x, y$ 각 축에 대해 $l, m$개의 마디를 가지고 있고, 이를 TEM_lm 모드라고 부른다.

아래 그림은 에르미트-가우스 빔의 여러 진동모드를 보여주고 있다. 처음에 나타나는 그림은 TEM₀₀으로서 앞서 다루었던 '보통'의 가우스 빔이다. 보편적으로 레이저는 이 모드가 가장 많이 사용되는 데 이는 전체적으로 위상이 거의 일정하여 간섭성이 가장 좋고, 또한 가장 작은 크기의 초점을 맺을 수 있기 때문이다. 그러나 공진기에 부분적으로 반사를 억제시키는 방법 등으로 다른 모드도 만들 수 있다.

프로그램 아래 부분에 있는 'x mode'나 'y mode'의 슬라이드를 이용하여 다른 여러 모드들을 만들 수 있다. 여기서 위상 분포를 살펴보려면 그림 부분의 'Complex Amplitude Image' 탭을 선택하자. 예를들어 TEM₁₀ 모드의 경우 두 봉우리가 각각 서로 반대 위상인 것을 알 수 있다. 한편 가장 집속이 되는 지점에서 벗어나면 빔의 위상의 분포가 복잡해 지는 것을 관찰할 수 있다.

빔이 특별한 형태의 다발을 이루면서 진행한다.

아래 그림에서 에르미트-가우스 빔에서 진폭이 일정한 영역, 즉 등고면의 입체적인 모습을 파악할 수 있다. 아울러 각 지점의 빔의 상대적인 복소위상은 HSV 색모형으로 같이 보여준다. \eqref{eq8} 식에서 확인할 수 있는 것처럼 $(l+m+1)$의 항 때문에 서로 인접한 빛줄기에서의 위상이 거의 반전되는 것을 확인할 수 있다. 특히 빔의 허리인 $z=0$에서는 완전히 반전된다. 여기서 오른쪽 아래의 'amplitude' 라디오 버튼을 선택하면 빔의 밝기의 등고면을 보여준다. (오른편 그림은 아래 프로그램이 정상적으로 실행되었을 때의 모습으로 $l=1, m=1$ 모드이다. 프로그램이 실행되기 위해서는 Java와 VTK가 정상적으로 설치되어야 한다)

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