가우스 빔과 공진이론

타원형 가우스 빔

늘어진 가우스 빔

보통의 가우스 빔은 그 단면이 원형이다. 그러나 이것이 기둥렌즈에 입사하거나 비점수차를 가지고 있는 공진기에서 발진되는 레이저라면 단면이 타원을 이루는 경우도 있을 수 있다. 한편 앞서 에르미트-가우스 빔의 경우에도 공통의 $q(z)$ 함수를 적용하였으나 여기서는 단지 이를 $x$와 $y$에 대해 서로 다른 함수 $q_x(z), q_y(z)$로 도입한 해가 존재하는지 알아보자. \[ \begin{equation} \label{eq1} \psi(x,y,z) = e^{i \frac{kx^2}{2 q_x(z)}} e^{i \frac{ky^2}{2 q_y(z)}} e^{iP(z)}. \end{equation} \] 이 빔 역시 다음의 빔 방정식은 만족한다고 하자. \[ \nabla_T^2 \psi + 2 ik \frac{\partial \psi}{\partial z} = 0. \] \eqref{eq1} 식을 윗 식에 대입하면 다음 세 방정식을 얻게 된다. \[ q_x'(z) = 1, \] \[ q_y'(z) = 1, \] \[ P'(z) = \frac{i}{2} \left( \frac{1}{q_x(z)} + \frac{1}{q_x(z)} \right). \] 따라서 앞 두 식은 \[ q_{x}(z) = z + q_{x0} = z + (-d_x - i z_{x0}) =(z - d_x) - i z_{x0}, \] \[ q_{y}(z) = z + q_{y0} = z + (-d_y - i z_{y0}) = (z - d_y) - i z_{y0} \] 의 단순한 해를 가진다. 여기서 $q_{x0}, q_{y0}$는 복소수 일 수 있으므로 이의 실수와 허수성분을 분리하여 나타낸 것이다. 앞에서 다루었던 원형의 가우스 빔에 빗대어서 해석하면 빔의 특성을 보다 잘 이해할 수 있다. 원형 빔에서는 허리의 위치를 $z=0$ 으로 했으나 여기서는 $z$의 원점을 $x$와 $y$ 둘에 대해 같은 허리로 정할 수 없다. 따라서 $x$와 $y$의 단면에서의 허리의 위치가 각각 $d_x$, $d_y$이도록 둔 것이다. 이제 마지막 방정식을 이 결과를 이용해서 풀면 \[ iP(z) = \frac{1}{2} \left[ - \ln \left\{ 1 + \left( \frac{z-d_x}{z_{x0}} \right)^2 \right\}^{\frac{1}{2}} - i \tan^{-1}\left( \frac{z-d_x}{z_{x0}} \right) - \ln \left\{ 1 + \left( \frac{z-d_y}{z_{y0}} \right)^2 \right\}^{\frac{1}{2}} - i \tan^{-1}\left( \frac{z-d_y}{z_{y0}} \right) \right] \] 이다. 이제 다시 이들을 조합하면 \[ \eqalign{ E(x, y, z) &=& E_0 \sqrt{\frac{w_{x0}}{w_x(z)}} \exp \left(-\frac{x^2}{w_x^2(z)} \right) \cdot \sqrt{\frac{w_{y0}}{w_y(z)}} \exp \left(-\frac{y^2}{w_y^2(z)} \right) \\ & & \times \exp \left[ i \left\{ kz - \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{z-d_x}{z_{x0}} \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{z-d_y}{z_{y0}} \right) \right\} \right] \\ & & \times \exp \left( i \frac{kx^2}{2R_x(z)} \right) \cdot \exp \left( i \frac{ky^2}{2R_y(z)} \right). } \] 여기서 $w_x(z), R_x(z), w_y(z), R_y(z)$는 원형의 가우스 빔과 비슷하게 다음과 같이 정의된다. \[ w_x^2(z) = w_{x0}^2 \left\{1 + \left( \frac{z-d_x}{z_{x0}} \right)^2 \right\} , ~ ~ ~ w_{x0}^2 = \frac{2z_{x0}}{k} = w_x^2(d_x), \] \[ w_y^2(z) = w_{y0}^2 \left\{1 + \left( \frac{z-d_y}{z_{y0}} \right)^2 \right\} , ~ ~ ~ w_{y0}^2 = \frac{2z_{y0}}{k} = w_y^2(d_y), \] \[ \frac{1}{R_x(z)} = \frac{(z-d_x)}{(z-d_x)^2 + z_{x0}^2}, \] \[ \frac{1}{R_y(z)} = \frac{(z-d_y)}{(z-d_y)^2 + z_{y0}^2}. \] 즉 수직한 $x,y$ 단면에 대해서 허리의 위치, 허리의 반경, 레일리 범위가 각각 $z=d_x, w_{x0}, z_{x0}$와 $z=d_y, w_{y0}, z_{y0}$로 다르게 주어지지만 역시 가우스 함수 꼴은 여전하다. 이들 모든 값이 서로 같으면 원형의 가우스 빔으로 환원된다. 한편 파장은 공통이므로 \[ \lambda = \frac{\pi w_{x0}^2}{z_{x0}} = \frac{\pi w_{y0}^2}{z_{y0}} \] 이고, 따라서 한 평면에서 허리가 가늘면 그 평면에서의 발산이 매우 커진다.

실제로 반도체 레이저는 n-p의 접합부위가 평면이므로 $x, y$에 대한 대칭이 없어져서 이러한 타원형 가우스 빔을 만들게 된다.

아래 그림은 타원형 가우스 빔에서 밝기가 일정한 영역인 등고면을 보여준다. $x, y$의 각 평면에서의 허리 반경뿐만 아니라 허리의 위치도 달리 변경할 수 있고 'complex'를 선택해서 복소파동이 배치된 전모를 살펴볼 수 있다.

더욱 일반적인 가우스 빔

에르미트-가우스 빔이면서 여기서의 빔처럼 $x,y$ 각 축에 대해 서로 다른 허리 반경과 위치를 가지는 경우도 있을 수 있다. 즉 에르미트-가우스 빔이 기둥렌즈를 통과하는 상황이나 반도체 레이저에서 공진기의 국소적인 특성 때문에 이러한 빔이 만들어 질 수 있다.

_ 반도체 레이저_ 비점수차_ 복소수_ 등고면