레이저 공진

주기적인 광학계

기하광학에서 빛이 진행하는 것을 광선의 개념으로 다루었다. 비록 광선은 파동으로서의 빛의 진행을 근사적으로 다루는 것이지만 렌즈나 거울 등의 광학기구에서의 빛의 행동을 간편하게 다루게 할 수 있었다.

한편 레이저는 양쪽에 거울을 설치하여 빛을 그 사이에 오랫동안 왕복시켜야 원하는 만큼의 증폭이 이루어질 수 있다. 공진기를 왕복하는 광선은 동일한 광학계가 거듭해서 배열된 주기적인 광학계를 진행하는 것으로 이해할 수 있다. 이러한 공진기 내부를 진행하는 광선의 행동을 살펴서 공진기를 구성하는 두 거울이 어떤 모양이어야 하는지를 알아내어야 하는 데, '두꺼운 렌즈' 단원에서 다룬 광선행렬(optical matrix)을 이용한다.

볼록렌즈를 배열한 도파관

아래 그림은 $f_1$과 $f_2$의 두 초점거리를 가진 렌즈가 $d$의 간격으로 교대로 배열되어 있다. 이들 각각의 주기를 거칠 때 광선이 어떻게 변하게 되는지를 광선행렬로 계산해 본다.

이 경우를 광선이 $d$ 떨어진 이후에 $f_2$가 있고, 다시 $d$ 떨어진 곳에 $f_1$가 있는 것을 기본요소로 하여 이에 대한 전달행렬 $T_{\mathrm{Unit}}$을 계산해 하면 다음과 같다. \[ T_{\mathrm{Unit}} = \left[\array{ 1 & d \\ -\frac{1}{f_1} & 1 -\frac{d}{f_1} } \right] \left[\array{ 1 & d \\ -\frac{1}{f_2} & 1 -\frac{d}{f_2} } \right] = \left[\array{ 1 - \frac{d}{f_2} & d + d \left( 1 - \frac{d}{f_2} \right) \\ -\frac{1}{f_1} - \frac{1}{f_2} \left( 1 - \frac{d}{f_1} \right) & \left( 1 - \frac{d}{f_1} \right) \left( 1 - \frac{d}{f_2} \right) - \frac{d}{f_1} } \right]. \] 이 기본요소에 대한 광선행렬의 계수를 각각 $A, B, C, D$라 하자. $(y_0, \theta_0)$의 광선이 입사하여 한 요소를 지날때 마다 각각 $(y_1, \theta_1)$, $(y_2, \theta_2)$으로 광선이 행동한다고 표시했을 때 $(y_m, \theta_m)$, $(y_{m+1}, \theta_{m+1})$, $(y_{m+2}, \theta_{m+2})$ 사이에 다음의 절차따라 점화관계(recurrence relation)가 성립하는 것을 확인할 수 있다. \[ \array{ y_{m+1} &=& A y_m &+& B \theta_m, \\ \theta_{m+1} &=& C y_m &+& D \theta_m. } \] 첫 식은 \[ \array{ \theta_m &=& \frac{y_{m+1} - A y_m}{B} \\ \theta_{m+1} &=& \frac{y_{m+2} - A y_{m+1}}{B} } \] 으로 된다. 이 두 식을 다시 앞의 $\theta_{m+1}$의 표현에 대입하여 $\theta$ 들을 소거하면 $y_0, y_1, ... , y_m, y_{m+1}, ... $의 관계로 정리된다. 이 값들은 광선이 광축으로부터 벗어난 거리로서 광선이 진행함에 따라 모여들거나 흩어지는 경향을 알려준다. 즉, \[ y_{m+2} = 2 \left( \frac{A+D}{2} \right) y_{m+1} - (AD-BC) y_m \] 으로 수열 $\{y_0, y_1, \cdots, y_m, y_{m+1}, y_{m+2}, \cdots\}$의 점화관계이다. 이제 처음의 두 값을 알면 그 다음부터는 이 관계로부터 계속 구할 수 있게 한다. \[ y_m = y_0 h^m \] 을 가정하면, 앞의 점화관계는 \[ h^2 - 2bh + F^2 = 0 \] 이므로 \[ h = b \pm i \sqrt{F^2 - b^2} = F(\cos \phi \pm i \sin \phi) = F e^{\pm i \phi} \] 이다. 여기서 $b = \frac{A+D}{2}$, $F= \det T = AD-BC$, $\phi = \cos^{-1} \frac{b}{F}$ 이다. 이제 여기서 구한 $h$을 이용하면 \[ y_m = y_0 F^m e^{\pm im \phi} \] 이 된다. 이제 두 특수해를 조합해서 일반해를 구할 수 있게 된다. 즉, \[ y_m = \left( \frac{y_0}{\sin \phi_0} \right) F^m \sin (m\phi + \phi_0) \]

실제로 광학기구가 동일한 굴절률의 공간에 놓여 있으면 언제나 $\det T =1 $이다. 따라서 $F=1$이고, $b = \cos \phi$이다. $\phi$가 실수로 되는 조건이 안정된 형태로 $y_m$이 진동하는 모양이 되므로 렌즈계를 벗어나지 않고 계속 갇혀 있기 위해서는 \[ |b| \leq 1 ~ ~ \Rightarrow ~ ~ |A+D| \leq 2, ~ ~ \mathrm{or} ~ ~ ~ ~ 0 \leq \frac{A+D+2}{4} \leq 1 \] 을 만족해야 한다.

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거울 사이에 갇힌 광선

주기적인 렌즈계에서 광선이 새지 않는 조건

이제 두 렌즈의 초점 $f_1, f_2$와 떨어진 거리 $d$로 이 관계를 정리하자. \[ \frac{A+D+2}{4} = \left( 1 - \frac{d}{2f_1} \right) \left( 1 - \frac{d}{2f_2} \right) \] 이고, \[ g_1 = 1 - \frac{d}{2f_1}, ~ ~ g_2 = 1 - \frac{d}{2f_2} \] 로 놓으면 광선이 갇혀있기 위한 조건이 다음과 같이 정리된다. \[ 0 \leq g_1 g_2 \leq 1 \]

다음 그림은 초점거리가 각각 $f_1, f_2$인 두 종류의 볼록렌즈가 교대로 배치되어 있는 광학계이다. 왼쪽의 한 점에서 나온 광선이 렌즈 배열을 통과하면서 어떤 조건에서 잔류비율이 커서 광선이 갇히게 되는가를 알아볼 수 있다.

오목거울 두 개로 무한히 배열된 렌즈의 효과를 볼 수 있다.

만일 곡률반경이 $R_1, R_2$인 거울을 $d$ 떨어지게 마주 두면 두 종류의 볼록렌즈를 무한히 배열한 효과를 볼 수 있게 된다. 이때는 \[ 0 \leq \left( 1 + \frac{d}{R_1} \right) \left( 1 + \frac{d}{R_2} \right) \leq 1 \] 으로 여기서 오목거울은 곡률반경 $R$이 음수이다.

아래 프로그램은 두 오목거울 내부에서 광선이 전파하는 양상을 보여준다.

_ 오목거울_ 볼록렌즈_ 초점거리_ 광선