레이저 공진

다음 그림은 오목거울 두 개가 서로 마주 보고 있는 공진기의 작동을 실험할 수 있도록 한 모의실험이다.

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공진기 모의실험_ 양 쪽에 오목거울이 배치되어 있고, 처음에 평행광선이 오른쪽으로 향하게 된다. 각각의 오목거울은 슬라이더를 통해서 초점거리를 조절할 수 있다.

프로그램 설명

1. 두 거울은 모두 오목거울로서 초점을 화면 아래의 두 슬라이더로 조절할 수 있다. 그리고 광축 위에 각각의 초점의 위치가 표시된다.

2. 화면 아래 중앙의 'd 거리' 슬라이더로 두 거울 사이의 거리 $d$를 50 ~ 600 범위에서 조절할 수 있다.

3. 화면의 오른쪽에 '잔류광선'으로 표시한 % 값은 처음에 주어진 전체 광선에서 가장자리를 빠져나가지 않고 남아있는 광선의 비율을 나타낸다.

4. 화면 아래의 그래프는 각각의 광선에 대해서 왼쪽 거울에서 반사되는 위치를 꺾은선 그래프로 나타내고 있다. 연결한 선은 광선의 실제 경로를 나타내는 것이 아니라 오른쪽 거울을 건너온 과정을 생략하여 연결하고 있다. 같은 간격으로 되어 있는 수직선에서의 값이 순서대로 왼쪽거울에 도달하는 광선의 $y$을 나타낸다. 따라서 앞에서 이론으로 설명했던 $ ... , y_{m-1} , y_m, y_{m+1}, ... $의 수열을 꺾은선 그래프로 나타낸 것이고, 이를 통해 광선이 갇혀서 안정된 행동을 하는지 여부를 바로 알 수 있다.

5. 꺾은선 그래프의 오른쪽 위 '데이터복사' 버튼을 클릭하면 지금까지 형성된 그래프의 데이터가 클립보드에 복사된다. 이 데이터는 주어진 광선 하나하나에 대해 $ ... , y_{m-1} , y_m, y_{m+1}, ... $의 수열을 나타내며 광선이 범위를 벗어나면 광선이 사라진 것이므로 수열이 끝난다. 복사한 데이터를 Excel 등 계산표 프로그램에서 붙여넣기 하여 다시 그래프를 그리거나 값을 통해서 분석할 수 있다. 안정된 상태에서는 광선의 특정한 범위 안에서 진동하는 것을 이 그래프로 관찰할 수 있다.

6. 잔류광선이 3가닥이 남으면 광선추적 동작이 멈춘다. 이때에도 '운동' 버튼을 누르면 다음 거울을 만날 때까지 광선을 진행시켜 볼 수 있다.

7. 화면에서 거울의 모양은 상징적인 것으로 실제 근축광선에 대한 근사식을 이용하였기 때문에 구면수차가 없는 이상적인 광학계라고 가정한다.

8. 잔류광선이 일정한 비율을 계속 유지한다면 이제 이 광선은 공진기 속의 레이저 매질에서 증폭이 오랫동안 이루어질 수 있으므로 레이저로 성장하여 발진할 가능성이 있다.

공진기 모의실험

1. 프로그램이 처음에 주어진 조건에서 '운동'시켜보자. 몇 회 왕복하면서 광선이 가장자리로 빠져나가고 점차 그 수가 줄어들 것이다. 남은 광선이 3개가 되면 광선추적이 중단될 것인 데 계속 '운동' 버튼을 누르면 마지막에 1개가 남는다. '데이터복사'를 눌러서 중앙점 바로 인근의 광선(11번이나 13번 광선)의 데이터를 그래프로 그려서 이 광선의 행동특성을 설명하라.

2. 두 오목거울 사이의 거리를 50으로, 두 오목거울의 초점거리를 2000으로 맞추어서 아래 그래프가 거의 1회 완성될 때까지 관찰하자. 그래프를 통해 광선의 행동이 1의 실험에 비해서 어떻게 다른지 비교하라. 이 데이터를 복사해서 제일 진폭이 큰 광선(가장자리 광선)이 sin 함수를 따르는지 검증하라.

3. $f_1, f_2$와 $d$를 다양하게 바꾸어서 광선을 추적해서 각각의 경우에 대해 광선이 갇혀서 행동하는지 여부를 판단하라. 그리고 이 결과가 앞서 광선이 갇혀있기 위한 조건으로 유도한 다음 식과 부합되는지 검증하라. \[ 0 \leq \left( 1 - \frac{d}{2f_1} \right) \left( 1 - \frac{d}{2f_2} \right) \leq 1 \]

4. $f_1 + f_2 = d$가 되도록 설정하라. $d$를 고정하고, $f_1$과 $f_2$를 조정해서 $f_1 \lt f_2$와 $f_1 \gt f_2$, $f_1 = f_2$ 인 세 경우의 광선추적의 결과를 서로 비교해 보라.

[질문1] 평면거울 둘이 마주보고 있을 때 광축에 평행한 광선은 계속해서 반복되는 행동을 해서 안정된 상태로 있을 수 있을 것이다. 그리고 이는 $g_1 g_2 = 1$로서 광선이 갇히는 조건식을 충족한다. 그러나 실제로 이 상태는 썩 좋지 못하다고 볼 수 있는 데 이 이유는 무엇일까?

[질문2] 두 오목거울의 곡률중심이 서로 일치하게 배치하는 경우에도 안정된 상태가 된다. 특히 두 오목거울의 곡률반경이 같은 경우는 거울의 배치를 쉽게 작도법으로 해석할 수 있다. 두 거울을 하나의 원에서 나타내고, 이것이 안정된 이유를 그림으로 나타내 보라.

[질문3] 프로그램에서는 오목거울만 사용하고 있다. 둘 중 하나를 볼록거울로 해서 안정된 상황을 만들 수 있을까? 둘 다 볼록거울이면 어떨까?

[질문4] 다음 그림과 같은 배치와 동일한 상황을 초점거리가 같은 두 개의 오목거울로 구성한다고 하면 초점거리가 얼마인 오목거울을 얼마 떨어지게 서로 마주두어야 할까? 단 그림에서 볼록렌즈의 초점거리는 $f$, 양쪽의 두 평면거울과 중앙의 볼록렌즈와의 거리는 각각 $d$이다.

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