고체의 에너지띠

주기적인 퍼텐셜에서의 양자상태

아래 프로그램은 원자가 격자를 이루고 있어 주기적인 퍼텐셜에너지를 가지고 있는 상황에서 전자의 양자 상태를 보여준다. 계산은 1차원의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 수치해석으로 풀이한 결과이며, 확률밀도함수나 파동함수를 다양하게 보여준다. 아래의 설명을 잘 읽고 실험 절차에 따라 실험해 보자.

프로그램 설명

1. 이 프로그램은 '정상상태의 수치해석' 단원에서 설명한 알고리즘을 이용하였다. 또한 '1차원의 여러 퍼텐셜의 수치해석'에의 설명에서와 같은 조건으로 작성하였다. 단 보다 정교한 계산을 위해서 -5 ~ 5 단위길이를 1401개의 격자로 나누었다.

2. 위에서 표시한 nm, eV의 단위는 대상 입자가 전자라고 했을 때의 것이다. 이 경우 단위길이는 0.195 nm이 되고, 계산영역은 약 -0.975 ~ 0.975 nm 이다.

3. 퍼텐셜의 가장자리에서는 파동함수를 강제로 0 으로 두는 경계조건을 설정하였다. 따라서 경계에 무한 퍼텐셜 장벽이 설치되어 있는 것으로 볼 수 있다.

4. 격자는 1~11개 범위에서 변경할 수 있으며, 각각에 대해 에너지 고윳값과 확률밀도함수, 파동함수 등의 정보를 수치해석해서 보여준다. 그림에서 에너지 준위를 기준선으로 해서 그 위치에 이들 함수를 그래프로 나타내고 있는 데 확률밀도함수는 순차적으로 위와 아래 방향으로 교대로 해서 나타낸다.

5. 여러 상태를 한꺼번에 나타내기 때문에 각각의 파동함수는 겹쳐서 보일 수 있다. 이때 '특정상태 보기'를 선택하여 각각의 파동함수나 확률밀도함수를 아래 부분에 별도로 나타나는 그림으로부터 보다 세밀하게 관찰할 수 있다.

6. 바닥상태로부터 격자 수 만큼의 고유상태를 계산해서 나타낸다. '고차 모드 보기'를 선택하면 이의 두 배만큼 나타낸다. 이를 통해 하나의 격자의 하나 혹은 두 에너지 준위가 격자수가 늘어남에 따라 어떻게 가지치기를 하는 지를 살펴볼 수 있다. 격자의 개수가 늘어나면서 각각의 에너지 준위는 격자수만큼으로 나누어지면서 이들이 일정한 영역으로 제한되어 띠를 이루는 것을 관찰 할 수 있다. 이에 따라 격자수가 무한히 커지면 하나의 격자에 대한 각각의 에너지 준위는 연속적인 에너지띠를 이루게 될 것을 예상할 수 있다.

7. '유사수소 퍼텐셜'를 선택하지 않는 경우는 각각의 퍼텐셜은 폭이 0.1 nm 인 사각형의 퍼텐셜 우물로 깊이는 50 eV ~ 150 eV 범위에서 조절할 수 있다. 만일 격자간의 거리가 0.1 nm 로 주면 퍼텐셜이 서로 연결되어 넓은 하나의 퍼텐셜 우물로 된다.

8. '유사수소 퍼텐셜'의 경우, 대체로 3차원의 수소 둘이 접근하는 상황과 유사하게 퍼텐셜이 각각의 격자점에서의 거리에 반비례하되 아주 가까운 거리에서는 일정한 값으로 두었다. 이때 '퍼텐셜 깊이'는 퍼텐셜의 정도를 조절하는 의미로 쓰인다.

9. 파동함수나 확률밀도함수는 모두 규격화가 아니라 최댓값을 일정하게 두었으며, 확률밀도함수는 순차적으로 아래 방향과 위 방향으로 나타내었다. '파동함수 보기'를 선택하면 파동함수를 부각해서 나타낸다.

10. "데이터복사" 버튼을 누르면 지금 현재 조건에서 계산된 파동함수를 클립보드에 복사한다. 이를 엑셀(Excel) 등 계산표 프로그램에 복사해서 보다 정교하게 데이터를 분석할 수 있다.

실험 방법

1. 화면이 처음 나타나는 조건에서 '두 원자간의 거리' 슬라이더로 격자간격을 변화시키면서 에너지 고윳값이 어떻게 변하는지 관찰해 보자. 이를 거리에 따른 그래프를 그려서 그 경향성을 설명하라. 이때 격자들이 아주 먼 거리에 있을 때의 데이터는 하나의 격자에 대한 결과를 이용할 수 있다.

2. 격자수를 증가시켜서 1의 과정을 되풀이 하라. 이를 통해서 격자수가 매우 많아졌을 때의 행동을 추측하라.

3. 처음 주어진 조건에서 '고차 모드 보기'를 선택하여 격자수 2배의 준위를 볼 수 있도록 하자. 격자수를 하나로 부터 11개까지 순차적으로 증가시키면서 격자수가 증가함에 따라 하나의 에너지 준위가 어떻게 분화되는지 살펴보자. 퍼텐셜 깊이나 유형을 달리하여 같은 과정을 되풀이 하여 격자수가 늘어남에 따라 에너지 준위가 분화되는 기본 원리를 정리하라.

4. 3의 과정에서 만들어지는 에너지 띠 중에서 서로 다른 띠에 속하면서 서로 인접한 두 상태를 정교하게 관찰하자. 이들은 격자수에 해당하는 순번의 준위와 이보다 하나 위의 준위가 될 것이다. 예를 들어 격자수가 10 이라면 열 번째 준위와 열한 번째 준위가 서로 다른 띠를 이루면서 이들 사이에서는 에너지 준위가 존재하지 않게 된다. 이들 두 준위에 해당하는 파동함수와 확률밀도함수를 '특정상태 보기'를 이용해서 살펴 볼 수 있고, '데이터복사'로 데이터를 옮겨서 엑셀 등 다른 프로그램으로 세밀하게 분석할 수도 있다.

5. 4의 과정을 격자수를 달리해서 관찰하고 이로부터 에너지 준위의 간극이 생기는 원리를 추리해 보자. 이 간극의 에너지를 가진 전자(입자)는 존재할 수 없기 때문에 금지띠(forbidden band)라 한다.

6. 1차원에서 바닥상태의 파동함수는 마디점이 하나도 없고, 점차 모드가 올라감에 따라 마디점이 하나씩 증가하게 된다. 즉 $i$ 번째 준위는 $i-1$ 개의 마디점을 가진다. '파동함수 보기'를 선택하여 '특정상태 보기'로 순차적으로 모드를 높여 가면서 파동함수의 마디 수가 이렇게 되는지를 보자. 마디점의 위치가 어떤 규칙성을 가지고 있는가? 있다면 그 규칙은 무엇인가?

[질문1] 각 격자에 대해 하나의 전자가 주어진다면 격자수가 5일 때 전자는 어떻게 배치될까? 이때 전자의 스핀은 고려하지 않는다고 하자.

[질문2] 전자는 스핀을 가지고 있어서 한 상태에 서로 다른 스핀을 가진 두 전자가 올 수 있다. 만일 각각의 격자가 2개의 전자를 기여한다면 11개의 격자로 이루어진 계에서 전자는 어떻게 배치될까? 각각의 격자가 3개, 혹은 4개를 기여한다면 이 계에 전자가 배치되는 상황은 어떠할까? 이때 계의 온도는 0 K로 낮은 에너지 준위로부터 순차적으로 배치된다고 하자.

[질문3] 이 프로그램의 퍼텐셜은 구조가 언제나 $x=0$에 대해 대칭이다. 파동함수는 우함수이거나 기함수의 해가 가능하고, 확률밀도함수는 우함수의 형태를 하여 $x=0$에 대해 대칭인 분포를 하게 된다. 프로그램으로 구한 각 양자상태가 모두 이러한 성질을 가지는 지를 확인하라. 그리고 이 이유를 이론적으로 검증하라.

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