전자기파 복사

전하와 전류가 시간에 따라 변하지 않고 정상상태를 유지한다면 이들 때문에 생기는 장들은 변하지 않겠지만 전류나 전하가 시간에 따라 계속 변한다면 이것은 변하는 장을 만들게 된다. 이렇게 변하는 전기장이나 자기장은 다시 주변에 자기장이나 전기장을 만들고 이러한 변화가 꼬리를 물고 이어져서 공간을 퍼져나가는 파동이 될 수 있을 것이다. 이를 실제로 헤르츠는 실현해 보였지만 이런 과정을 이론적으로 살펴보는 것도 가능하다.

단순한 상황으로 모든 배치가 $x-y$ 평면에 대하여 무관하게 주어져 오직 $z$축에 대한 의존성만 있는 1차원적인 경우를 생각해 보자. $z=0$의 $x-y$ 평면에서 $x$ 방향으로 $J(t)=J_0 \cos\omega t$의 전류가 흐른다면 그 면에 가까운 $z \gt 0$ 지점에서는 $y$ 방향으로 $B(t)=B_0 \cos\omega t$의 자기장이 형성될 것이다. 이 자기장이 시간에 따라 변하므로 이것은 역시 전기장을 만드는 데 맥스웰 방정식을 적용하면 다음 그림과 같이 $z$축의 +와 -의 두 방향으로 진행하는 평면파가 된다.

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평면 전자기파_전기장과 자기장이 $x,y$ 좌표값에 무관하게 형성되어 $x-y$ 평면과 나란한 파면을 이루고 있는 전자기파의 전파 형태를 나타내고 있다. 그림에서 노란색의 화살은 전기장을, 분홍색의 화살은 자기장을 나타내고 있다. 시간이 흐름에 따라 파동은 오른쪽으로, 즉 $z$방향으로 $c$의 속력으로 이동한다.

빛의 본성을 파악하다.

평면파의 전기장과 자기장은 다음과 같은 형식으로 표현할 수 있다. \[ \mathbf{E}=\mathbf{E}_{o} \exp [ i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)] \] 여기서 $\mathbf{k}$를 파벡터라고 하는 데, 이 벡터의 방향은 파동의 진행 방향을, 크기는 $\frac{2\pi}{\lambda}$, 즉 파수를 나타낸다. 파면은 파동량을 결정하는 위상이 일정한 지역을 말하는 데 위 파동의 경우 이 파면이 $\mathbf{k}$에 수직인 평면이 된다. 이처럼 파면이 평면인 파동을 평면파라고 한다.

한편 $\omega$는 각진동수이고, $\mathbf{E}_{o}$는 전기장의 진동방향과 그 진폭을 나타낸다. 즉 $\mathbf{k}$방향으로 진행을 하게 되지만 전기장은 항상 $\mathbf{E}_{o}$방향으로 놓여있으면서 그 크기는 $E_0$와 $-E_0$ 범위로 진동하게 된다.

앞의 '평면 전자기파' 그림에서처럼 $z$ 방향으로 진행하면서 $x$ 방향으로 진동하는 평면파는 $\mathbf{E}(x,t)=\hat{i}E_0\exp[i(kz-\omega t)]$로 표현 될 것이다. 여기서 파동을 복소함수로 나타내었는 데 전기장과 자기장은 측정가능한 물리량이므로 이 복소함수의 실수부나 허수부가 실제로 의미있는 파동량이라고 생각하면 된다.

앞 그림에서 평면파의 진행방향, 전기장의 진동방향, 자기장의 진동방향이 서로 수직으로 주어져 있는 데 이들 사이의 관계를 맥스웰 방정식으로 다시 살펴보기로 하자.

평면파의 경우 전기장이나 자기장이 모두 $\exp[i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)]$의 인자를 가지고 있다. 이 인자를 가지고 있는 것 만으로 더 이상의 제한없이 전기장과 자기장은 파동방정식을 만족하지만 이보다 근본적이라 할 수 있는 맥스웰 방정식은 추가 제한들을 이들 장에 요구하게 된다. 이를 알아보기 위하여 평면파의 장들을 다시 맥스웰 방정식에 대입해 보자. 이때 평면파의 $\exp$ 함수 부분 때문에 $\nabla$ 연산자는 $i\mathbf{k}$, $\frac{\partial}{\partial t}$는 $-i\omega$로 놓을 수 있게 되어 미분형 맥스웰 방정식은 다음과 같이 단순한 형태의 벡터 관계로 된다. \[ \eqalign{ \mathbf{k} \cdot \mathbf{E}&=& 0 \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{B}&=& 0 \\ \mathbf{k} \times \mathbf{E}&=& \omega\mathbf{B} \\ \mathbf{k} \times \mathbf{B}&=& -\mu_0 \varepsilon_0 \omega \mathbf{E} } \] 여기서는 전하나 전류뿐만 아니라 아무런 물질이 존재하지 않는 진공이라 가정하였는 데 유전체나 금속을 진행하는 경우에는 각각 $\mu_0\to\mu$이거나 $\mathbf{J}$가 $\mathbf{E}$에 비례하게 놓는 등 약간의 수정을 가해주어야 한다. 그러나 전자기파의 전파 양식은 별로 달라지지 않는다.

맥스웰 방정식은 {$\mathbf{E},\mathbf{B},\mathbf{k}$} 세 벡터는 서로 오른손 직교 좌표계를 이룬다는 것과 \[ E=\frac{\omega}{k}B=c B \] 의 전기장과 자기장은 빛의 속도의 비율로 비례한다는 것의 두 가지 추가 요구를 주게 된다.

전자기파는 전기장과 자기장의 진동방향이 진행방향에 수직인 횡파이다.

아래 그림처럼 전자기파의 전기장과 자기장은 파의 진행방향 $\mathbf{k}$에 수직하면서 또한 서로 수직하게 형성된다. 이러한 특성 때문에 전자기파를 횡파라 하는 것이다. 한편 전기장만이 진동하거나 자기장만이 진동하는 경우는 있을 수 없으며 이 둘은 빛의 속도 $c$를 비례상수로 하여 정확하게 비례한다. 따라서 보통의 경우 전자기파의 형태를 묘사할 때 전기장만으로 충분하고 이 전기장의 진동방향을 편광방향이라 한다.

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평면 전자기파의 운동_ $z$ 방향으로 진행하는 평면의 전자기파의 전기장과 자기장의 시간에 따른 변화를 나타내고 있다. 파는 오른쪽으로 빛의 속도 $c$로 움직이며, 전기장과 자기장은 $x,y$에 대해서는 균일하게 주어지며 단지 $z$ 값과 $t$에 의해 달라진다. 그림에서 노란색은 전기장을, 분홍색은 자기장을 나타낸다.

위 그림처럼 $z$방향으로 진행하는 전자기파의 전기장은 위 그림과 같이 $x$축으로 진동할 수 있겠지만 마찬가지로 $y$으로 진동할 수도 있다. 가장 일반적으로는 $x$ 방향 및 $y$ 방향으로의 진동이 적절하게 합성되어 있을 수 있다. 어느 경우든지 이와 동반되어 있는 자기장은 같은 $x-y$ 평면에 놀고 있지만 언제나 전기장과 수직으로 형성되어야 한다. 전기장의 진동 방향, 즉 편광방향이 어느 쪽으로 놓여 있는가는 이 전자기파가 어떻게 발생되었느냐에 달려있다.

[질문1] 자유공간의 임피던스(impedance of free space)는 자유공간(즉, 진공)을 전파하는 전자기파의 전기장($E$)과 자기장 세기($H$)로 다음과 같이 정의한다. \[ Z_0 = \frac{E}{H} \] 여기서 각각의 장은 그 크기로 계산한다. $H=\frac{1}{\mu_0}B$를 참고하고, 또한 전기장과 자기장($B$)의 비례관계를 이용하여 $Z_0 = 199.917 \pi \Omega = 376.73 \Omega$임을 보여라. (이것이 왜 임피던스라 불리는지, 그리고 $\Omega$을 그 단위로 하는지 생각해보자.)

[질문2] '평면 전자기파의 운동'에서 전기장과 자기장의 파동이 움직이는 모습을 살펴보면 이들의 위상이 동일하여 마루와 골 등이 모두 일치되어 있다. 이 이유를 설명하라.

[질문3] '평면 전자기파의 운동'에서 묘사한 전자기파는 $z$ 방향으로 진행하고 있다. 만일 파장이 250 nm라면 이의 파벡터($\mathbf{k}$)의 정확한 값을 벡터로 표현해 보라.

[질문4] '평면 전자기파의 운동'에서 묘사한 전자기파는 파장이 500 nm, 전기장의 진폭이 10 $\hat{i}$ V/m 라고 하자. 이의 전기장과 자기장을 정확하게 $z$와 $t$의 함수로 표현해 보라. (위 그림이 처음 나타나는 모습은 $t=0$에서라고 하자)