기타 광학기구

GRIN 렌즈

빛을 조금씩 꺾어준다.

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GRIN 렌즈 _ 상업용으로 판매되는 렌즈 GRIN 렌즈로 크기는 유효직경이 수 mm 이내이다. 실제로 보통의 렌즈는 직경이 1mm 이하로 작동거리가 5mm 이하로 만들기는 거의 불가능하지만 GRIN 렌즈는 이러한 직경에서 렌즈의 출구에서 바로 상을 맺게 할 수도 있다.

빛이 굴절률의 경계에 진입할 때는 스넬의 법칙에 의해 굴절하고, 이 성질을 이용하는 렌즈는 경계를 구면이나 구면에 가깝게 만들어서 결상이 되도록 하였다. 한편, 굴절률이 연속적으로 변하는 매질 속에서 광선이 점진적으로 그 진로가 꺾어지는 현상을 이용해서 상을 맺게 하는 것도 가능하다. 사막에서 하늘의 모습이 멀리 호수가 있는 것처럼 나타나거나 오아시스의 상이 가까이 맺혀지는 신기루와 비슷한 상황이다. 이러한 원리로 유리에 일정한 굴절률 분포를 주어서 만든 것을 GRIN 렌즈(gradient index lens)라고 한다.

GRIN 렌즈는 보통 유리 기둥처럼 앞뒤 경계가 평면으로 되어 있고, 중심축에서의 거리에 따라 굴절률이 점진적으로 변한다. 그렇다면 볼록렌즈의 기능을 가지기 위해 굴절률 분포가 어떻게 되어야 할까? 볼록렌즈는 바깥으로 나갈수록 두께가 얇아지므로 중앙에 비해서 그 곳을 광선이 빠르게 통과한다. 따라서 GRIN 렌즈도 중앙에 비해 가장자리로 갈수록 굴절률이 작아져서 빠르게 통과할 수 있어야 한다. 한쪽이 평면이고 다른 한쪽이 곡률 $R$이고 중심에서의 두께가 $D$인 볼록렌즈를 생각하자. 중심에서 거리 $r$ 떨어진 지점의 두께는 $$d(r) = D - (R - \sqrt{R^2 - r^2}) \approx D - \frac{1}{2} \frac{r^2}{R^2}$$ 으로 거의 $r^2$ 비율로 얇아진다. 따라서 GRIN 렌즈의 굴절률을 가장자리로 갈수록 $r^2$에 비례하게 줄어들게 하면 볼록렌즈와 비슷한 효과를 거둘 수 있을 것이다.

따라서 보통 굴절률의 분포를 다음과 같도록 한다. $$\begin{equation} \label{eq1} n(r) = n_{0} \sqrt{1- \alpha^2 r^2} \approx n_{0} (1- \frac{1}{2} \alpha^2 r^2) \end{equation}$$ 이 식에서의 $\alpha$는 매우 작은 수로서 바깥으로 나갈수록 얼마나 급하게 굴절률이 줄어드는가를 나타낸다. 이 값이 GRIN 렌즈의 총체적인 특성이 되어 물매상수(gradient constant)라 한다.

위 그림에서 알 수 있듯이 GRIN 렌즈를 가로지르는 광선은 거의 sin 함수에 가까운 주기적인 행동을 한다. 이 계산에는 굴절 법칙을 적용하기 곤란하므로 '빛의 성질' 단원에서 다루었던 페르마의 원리를 이용한다. 페르마의 원리를 변분법으로 해석하면 굴절률이 $n(\mathbf{r})$의 공간을 진행하는 광경로 $\mathbf{r}$는 $$\begin{equation} \label{eq2} \frac{d}{ds} \left( n(\mathbf{r}) \frac{d\mathbf{r} }{ds} \right) = \nabla n(\mathbf{r}) \end{equation}$$ 을 만족한다. 여기서 $s$는 광경로를 따라가는 물리적인 거리이다.

GRIN 광학계의 광축을 $z$ 축으로 하고, 이로부터 벗어난 거리를 $r$로 둔다. 여기서는 광축이 놓인 평면(자오면)에 놓인 광선, 즉 자오광선만을 고려하도록 한다. 이 경우는 $(z, r)$의 2차원 문제로 볼 수 있다. 지금까지 보통의 렌즈를 다룰 때처럼 근축광선의 조건에서 $ds \approx dz$로 둘 수 있다. 따라서 $s$에 대한 미분은 $z$에 대한 것으로 바꿀 수 있다. 여기서는 $\eqref{eq1}$ 식의 굴절률이 $z$에 무관하고 하고 또한 이의 $\nabla$는 쉽게 계산된다. 즉 $$\frac{d^2 r(z)}{dz^2} = - \alpha^2 r(z)$$ 이다. 광축에서의 거리 $r$의 방정식은 쉽게 풀려서 다음과 같이 sin 함수가 되는 것을 확인할 수 있다. $$r(z) = r_0 \cos \alpha z + \frac{\theta}{\alpha} \sin \alpha z$$ 이 식은 GRIN 렌즈의 경계에서 $r_0$ 지점, 기울기 $\theta$로 진입하는 광선에 대한 궤적을 나타낸 것이다. 이로부터 어떤 광선이든 모두 GRIN 렌즈 속에서는 공간주기 $2\pi/\alpha$으로 진동하는 모양이 되는 것을 알 수 있다. 만일 평행광선이 진입하면 일단 $\pi/2\alpha$ 지점에서 모여들므로 초점을 형성한다고 할 수 있다. 실제의 GRIN 렌즈는 제한된 길이를 가지고 있으므로 다시 바깥으로 빠져나가는 광선은 경계에서 굴절을 하게 되어 이를 고려해서 초점거리를 정해야 할 것이다.

두꺼운 렌즈와 같이 주요면을 도입하여 결상을 간단히 작도할 수 있다.

다음 그림은 GRIN 렌즈에서 상의 결상을 작도하는 방법을 보여준다. 두꺼운 렌즈와 마찬가지로 물체초점($F_o$)에서 나가는 빛이 평행광선이 되는 과정에서 한 번 꺾이는 것으로 생각할 수 있는 제1주요면과 평행광선이 상초점($F_i$)으로 모일 때 한 번 꺾이는 것으로 생각할 수 있는 제2주요면을 도입할 수 있고, 이로부터 세 광선을 작도해서 결상되는 위치를 알 수 있다. 좌우 대칭이기 때문에 FFL과 BFL은 같은 값을 가진다.

[질문1] 길이가 $L$, 중심에서의 굴절률이 $n_0$, 물매상수가 $\alpha$인 GRIN 렌즈가 있다. 이의 초점거리가 다음과 같음을 증명하라. (바깥의 매질은 굴절률이 1이라 하고, GRIN 렌즈로 진입할 때와 나갈 때의 굴절을 고려해야 한다) $$f = \frac{1}{n_0 \alpha \sin(\alpha L)}$$

[질문2] GRIN 렌즈의 BFL이나 FFL을 작동거리(working distance)라고도 한다.
(a) 질문 1의 렌즈의 작동거리가 다음과 같음을 보여라. $$\text{FFL} = \text{BFL} = \frac{1}{n_0 \alpha} \cot (\alpha L)$$ (b) 질문 1의 결과를 같이 이용해서 제1주요면이 왼쪽 면에서 다음 거리에 있는 것을 보여라. $$\overline{V_1H_1} = \overline{H_2V_2} = \frac{1}{n_0 \alpha} \tan \left( \frac{\alpha L}{2} \right)$$

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