수차회절이론

수차회절이론

초점 주변의 회절을 해석한다.

수차를 가지지 않은 경우 초점에는 출사동공의 회절무늬가 맺힌다. 이는 원형구멍의 회절의 상황이므로 초점면에서는 에어리 원판을 비롯해서 1차, 2차 등의 원형 테두리가 나타난다. 한편 반경이 $a$인 출사동공이 수차를 가지고 있으면 이 회절무늬는 수차의 영향으로 왜곡된다.

아래 그림은 수차가 없는 이상적인 구면파가 초점 영역에서 회절되는 것을 보여준다. 우선 이렇게 수차가 없을 때 초점 영역에 형성되는 회절상을 계산해 보자.

그림에서 나타낸 것처럼 $(x, y, z)$는 출사동공 좌표계에서의 좌표값으로 동공의 중심점을 원점으로 한다. $Q$점은 구면 위의 한 점으로 위상이 모두 동일하다. $(X, Y, Z)$는 회절되는 빛이 도달하는 상영역 좌표값으로 구면의 중심, 즉 초점을 원점으로 한다. 수차에 의해 최적의 결상면이 이동될 수 있기 때문에 초점면을 벗어난 위치를 포함해서 일반적인 $P$ 점에서의 회절상을 계산하도록 한다.

$P$ 점의 파동량은 __'회절이론'__ 단원에서의 프레넬-키르히호프 회절공식에 의해 다음과 같이 정리된다. \[ \begin{equation} \label{eq1} U_P \propto \int_{\mathrm{pupil}} \frac{e^{iks}}{s} dA. \end{equation} \] 여기서는 원래 회절공식에 있는 경사인자를 1로 두었다. 적분은 동공 전체에 걸쳐서 하되, 각 동공에서 나가는 빛이 $P$에 도달할 때의 위상은 동공의 한 점에 대응되는 구면 위의 점으로부터 $P$까지의 광경로 $s$에만 의존한다. 이제 $s$를 두 점의 좌표값으로 나타내면, \[ \eqalign{ s &=& \sqrt{(X-x)^2 + (Y-y)^2 + (Z-z+f)^2} \\ &\approx & f \left(1+ \frac{X^2 + Y^2}{f^2} + \frac{x^2 + y^2}{f^2} - 2\frac{Xx+Yy}{f^2} + 2\frac{Z-z}{f} - 2 \frac{Zz}{f^2} \right)^{1/2}. } \] 여기서 $Z^2, z^2$ 항을 무시했다. 이제 동공과 회절지점의 좌표를 다음과 같이 원통좌표 $(\rho, \theta)$, $(r, \phi)$로 나타내자. \[ x = a \rho \cos \theta, ~ ~ y = a \rho \sin \theta, \] \[ X = b r \cos \phi, ~ ~ Y = b r \sin \phi. \] 여기서 $a$는 동공의 반경이므로 동공영역은 $0\leq \rho \leq 1$로 제한되고, 또한 $\rho$는 척도없는 양이 된다. 한편 $b$는 초점영역에서 척도없는 $r$을 도입하기 위한 것으로 다음과 같이 정의하자. \[ b = \frac{f}{ak} = \frac{\lambda}{2\pi NA} \] 이를 이용해서 $s$를 정리하면, \[ \begin{equation} \label{eq6} s \approx f + \frac{1}{2} \frac{b^2 r^2}{f} + \frac{1}{2} \frac{a^2 \rho^2}{f} - \frac{ab r\rho \cos(\theta-\phi)}{f} + (Z-z) - \frac{Zz}{f}. \end{equation} \] 이다. $Z$ 역시 다음과 같이 척도없는 값으로 나타내자. \[ u = \frac{k}{2} \left( \frac{a}{f} \right)^2 Z = \frac{k NA^2}{2} Z, ~ ~ ~ ~ Z = \frac{2}{k} \left( \frac{f}{a} \right)^2 u. \] 여기서 $u$는 $Z$를 척도없는 값으로 둔 것으로 초점흐림값(defocus parameter)이라 한다. 한편 $(x, y, z)$는 구면 위의 점이므로 \[ z \approx \frac{x^2+y^2}{2f} = \frac{a^2 \rho^2}{2f} \] 이다. 따라서 \eqref{eq6} 식의 오른쪽 세 번째 항은 $z$로 뒤의 $-z$와 소거된다.

$s$에서 적분변수 $(\rho, \theta)$를 포함하고 있는 항들만 남긴다. 나머지 항들은 $e^{is'}$ 형식으로 곱해지는 데 이는 최종적으로 광량계산에서 기여하는 효과가 없어지기 때문이다. 이제 척도없는 양들로 $s$를 다시 정리하면, \[ s \approx - \frac{r \rho \cos(\theta-\phi)}{k} - \frac{u \rho^2}{k} + \mathrm{other} ~ ~ \mathrm{terms} \] 이 결과를 \eqref{eq1}에 대입시키되 분모의 $s$도 거의 $f$로 볼 수 있어 비례상수에 흡수시킨다. \[ U(r, \phi, u) \propto \int_{0}^1 \int_0^{2\pi} e^{-i u\rho^2} e^{-ir\rho \cos(\theta-\phi)} d\theta \rho d\rho \] 초점 주변에서 회절한 빛의 파동량을 표현했다. 이 결과는 모두 척도없는 좌표값으로 표현했고, 따라서 빛의 파장이나 $NA$ 등의 값들은 나타나지 않는 보편적인 관계로 정리된 것이다. 여기서 $\theta$의 적분은 베셀 함수 꼴로 적분되어 다음과 같이 정리된다. \[ U(r, \phi, u) \propto \int_{0}^1 e^{-i u\rho^2} J_0(r\rho) \rho d\rho \]

$u=0$의 경우는 초점면에서의 회절이 된다. $\int_0^t J_0 (t') t'dt' = t J_1 (t)$ 관계를 이용하면 $U(r, \phi, 0) \propto \frac{J_1(r)}{r}$로 원형구멍 회절과 같은 결과가 되는 것을 확인할 수 있다.

파면수차가 있는 회절관계

이제 파면이 구면에서 벗어난 경우로 보다 일반화시키도록 한다. 파면수차 $\Phi(\rho, \theta)$는 벗어난 정도를 위상으로 나타낸 것이므로 이를 $s$에 더해서 표현하면 된다. 즉, \eqref{eq1} 은, \[ U_P \propto \int_{\mathrm{pupil}} \frac{e^{iks + i\Phi(\rho, \theta)}}{s} dA \] 이다. 따라서 최종 결과도 앞서와 같은 절차로 전개되어 다음으로 정리된다. \[ U(r, \phi, u) \propto \int_{0}^1 \int_0^{2\pi} e^{i\Phi(\rho, \theta)} e^{-i u\rho^2} e^{-ir\rho \cos(\theta-\phi)} d\theta \rho d\rho \] 이는 수차의 영향으로 결상지점 부근에 형성되는 회절상을 총체적으로 다룰 수 있는 관계식이다. 이러한 이론체계를 수차회절이론(aberration diffraction theory)이라 한다.

[질문1] $m=0, n=0$차 제르니케 함수의 수차를 piston이라 한다. 따라서 이 수차만 있다면 파면수차함수 $\Phi(\rho, \theta) = \alpha_0^0 \cdot 1$이다. 이 수차가 있더라도 회절상이 달리지지 않는 이유를 수차회절 관계식으로 검증하라.

[질문2] defocus는 $m=0, n=2$의 경우로서 제르니케 함수가 $-1+2\rho^2$이다. 수차값으로 $\alpha_2^0$ 가 존재할 때 이의 총체적인 효과로 초점의 위치가 $2\alpha_2^0$ 만큼 당겨지는 것을 수차회절 관계식으로부터 검증하라.

_ 원형구멍 회절_ 에어리 원판_ 베셀 함수_ 경사인자_ 회절공식_ 파동량_ 구면파_ 광경로_ 위상_ 초점_ 파면_ 수차

수차에 의한 회절

파면수차 $\Phi(\rho, \theta)$를 제르니케 함수로 표시했을 때 이들 각각의 계수에 부여된 값에 따른 회절상은 특정한 수차에 의한 상의 왜곡을 잘 나타낸다. 예를 들어 광선으로 구면수차를 다룰 때 나타나는 최소혼동원은 회절무늬의 밝은 영역이 최소인 면에서의 회절상이라는 것을 알 수 있다. 또한 코마수차나 비점수차 등도 초점면을 벗어난 위치에서 밝은 영역이 최소가 되는 데 이때에는 구면수차와 달리 한 방향이나 두 방향으로 뿔을 가지고 있는 상이 맺혀지게 된다.

다음은 각종수차에 의한 회절상을 알아보기 위한 프로그램으로 각각의 수차값을 부여할 수 있고, 그 결과의 회절상을 초점면과 그 주변에서의 단면 그림으로 보여준다. 여기서는 계산을 빠르게 수행하기 위해 \[ e^{i\Phi(\rho, \theta)} \approx 1 + i\Phi(\rho, \theta) \] 의 근사식을 이용했다. 따라서 수차값이 1보다 작을 때 보다 정확한 결과를 보여준다. 슬라이더로 각종 수차값을 변경해서 초점면과 주변에서의 회절상을 관찰해 보자.

_ 상의 왜곡_ 최소혼동원_ 코마수차_ 비점수차_ 구면수차_ 진폭_ 회절_ 초점_ 광축_ 광선