수차회절이론

위상차 현미경을 발명해서 1953년 노벨물리학상을 수상한 네덜란드의 제르니케(F. Zernike)는 파면수차를 효율적으로 표현할 수 있는 다항식과 이를 이용한 함수를 도입했다. 이를 제르니케 함수(Zernike function)라 하는 데 이제 이것이 파면수차를 나타내는 표준 형식이 되었다. 이 함수는 원형의 동공에 대한 임의의 함수를 서로 직교하는 함수의 조합으로 나타내기 위해서 도입된 특수함수로 각각의 항이 예전부터 알려져 있던 온갖 차수의 수차와 잘 대응되도록 한 것이다.

동공함수 $P(\rho, \theta)$의 위상함수 $\Phi(\rho, \theta)$를 다음과 같이 제르니케 함수의 조합으로 나타내자. \[ \Phi(\rho, \theta) = \sum_{n,m} \alpha_n^m Z_n^m(\rho, \theta). \] 여기서 $Z_n^m(\rho, \theta)$가 제르니케 함수이고, 이의 각각의 계수 $\alpha_n^m$ 값이 각종 수차를 나타낸다. 제르니케 함수는 반경$(\rho)$과 방위각$(\theta)$의 함수로 다음과 같이 두 종류로 분리된다. \[ Z_{c, n}^m(\rho, \theta) = R_n^m(\rho) \cos m \theta, \] \[ Z_{s, n}^m(\rho, \theta) = R_n^m(\rho) \sin m \theta. \] 여기서 반경방향 함수 $R_n^m(\rho)$는 제르니케 함수의 핵심이 되는 부분으로 제르니케 다항식(Zernike polynomial)이라 한다. 또 두 차수 $n,m$은 0 이상의 정수이면서 $n-m$은 0 이상의 짝수 값을 가진다. 제르니케 함수는 각각의 $n,m$에 대해 $m=0$을 제외하고 cos과 sin의 두 함수가 쌍으로 있어서 $\alpha_n^m$ 값도 쌍으로 존재한다.

제르니케 다항식_제르니케 다항식을 $m$(세로), $n$(가로)의 각 차수에 대해 표시하였다. 이는 $n\geq m$, $n-m$이 짝수에서 정의 되고, 최소 차수가 $m$인 $n$차 다항식이다.

$m \backslash n$	0	1	2	3	4	5
0	1	-	$-1+2\rho^2$	-	$1-6\rho^2+6\rho^4$	-
1	-	$\rho$	-	$-2\rho+3\rho^3$	-	$3\rho-12\rho^3 +10\rho^5$
2	-	-	$\rho^2$	-	$-3\rho^2+4\rho^4$	-
3	-	-	-	$\rho^3$	-	$-4\rho^3+5\rho^5$
4	-	-	-	-	$\rho^4$	-
5	-	-	-	-	-	$\rho^5$
6	-	-	-	-	-	-

다음 그래프는 제르니케 다항식을 여러 $n, m$에 대해 보여준다. 이를 보면 언제나 $R_n^m(1) = 1$이고, $m\ne 0$일 때 $R_n^m(0) = 0$ 임을 알 수 있다.

파면수차의 입체적인 모양

수차를 나타내는 $\alpha_n^m$ 값이 다양하게 조합되었을 때 동공함수의 모양을 아래 그래프에 나타내었다. '수차제거'로 모든 수차항을 없앤 후 한 계수만을 변경하면 이 수차에 대한 파면수차의 그림을 살펴볼 수 있다. 예를 들어 '[0,2] focus'를 변경하면 $Z_2^0 (\rho, \theta) = \alpha_2^0 (-1+2\rho^2) $의 $\alpha_2^0$ 값이 변할 때의 파면이 왜곡되는 그림을 나타낸다. 이는 전체적으로 초점을 기준위치에서 앞으로나(+) 뒤로(-) 이동시킨다. 따라서 이를 'defocus' 수차라 한다. (이동된 점을 새로운 초점으로 삼으면 수차가 없어지므로 수차가 아니라고 할 수 있다)

각각의 계수가 파면수차를 어떻게 왜곡시키는지 위 그림을 통해서 좀 더 알아보자.

$m=0$에 해당하는 수차만 있으면 전체적으로 광축에 대해 회전대칭의 모양을 하게 된다. $n=0$은 동공 전체에 걸쳐서 일정한 값의 위상이 더해지는 경우로서 결과적으로 상에는 영향을 미치지 않는다. $n=2$는 파면수차가 구면을 하게되므로 수차값에 비례하게 동공 쪽으로 초점이 당겨진다. $n=4$는 광축의 중심과 가장자리가 오목-볼록이 서로 반대로 되어 있어 이를 통과하는 광선이 광축상에서 서로 다른 위치에 집속될 것을 쉽게 예상할 수 있다. 이는 일반적인 구면수차의 특성이다.

한편, $m=1$의 경우는 방위각 $\theta$에 의존하는 특성이 $\cos\theta$나 $\sin\theta$가 되어 각각의 계수가 존재한다. 만일 $\cos$ 계수만 부여한다면 언제나 $y$ 축에 대해 반대칭의 구조를 하는 것을 볼 수 있다. $n=1$일 때에는 파면수차가 평면을 유지하면서 기울어지는 형태이다. 따라서 이 경우는 동공을 통과해서 나오는 파면이 구면을 그대로 유지하면서 그 방향으로 기울어지기 때문에 초점이 광축에서 벗어날 것이다. $n=3$의 경우는 동공의 지름선을 기준으로 양쪽이 각각 하나의 오목볼록한 형태를 띤다.

이렇게 $m, n$ 계수로 주어지는 각각의 파면수차는 기존에 알려진 여러 종류의 수차에 대응된다. 다음은 제르니케 함수의 각각의 계수 $\alpha$와 수차의 종류와 관련시킨 것이다.

각종 수차와 제르니케 계수_3차 수차까지와 제르니케 다항식의 계수와의 관계를 나타낸다.

#	$m$	$n$	$Z_n^m$ 함수	수차의 종류
$Z_0$	0	0	1	piston
$Z_1$	1	1	$\rho\cos\theta$	x-tilt
$Z_2$	1	1	$\rho\sin\theta$	y-tilt
$Z_3$	0	2	$-1+2\rho^2$	defocus
$Z_4$	2	2	$\rho^2\cos 2\theta$	astigmatism 0°
$Z_5$	2	2	$\rho^2\sin 2\theta$	astigmatism 45°
$Z_6$	1	3	$\rho(-2+3\rho^2)\cos\theta$	x-coma
$Z_7$	1	3	$\rho(-2+3\rho^2)\sin\theta$	y-coma
$Z_8$	0	4	$1-6\rho^2+6\rho^4$	spherical