결정

금속결합 결정

금속의 자유전자는 기체처럼 행동한다.

금속을 구성하는 원소의 바깥 버금껍질에 약하게 속박된 몇몇 전자는 결정이 되면 개개 원자와의 결합에서 풀려나서 거의 마음대로 움직이게 된다. 이들 전자는 모든 원소가 가진 양전하의 영향으로 이들에 공유되나 결정 내부에서는 자유롭게 움직이므로 자유전자(free electron)라 한다. 그렇지만 자유전자는 금속 내부의 퍼텐셜에 속박되어 있기 때문에 이를 퍼텐셜 우물에 갇혀있는 모형으로 이해할 수 있다. 즉 금속의 부피 $V$인 상자 속에서의 기체분자와 비슷하게 이들의 에너지 준위를 계산할 수 있다. 이러한 방법으로 '자유전자 기체' 단원에서 이들의 상태밀도와 페르미 에너지를 계산할 수 있었다.

위 그림에서 나타낸 것처럼 자유전자는 깊이가 $U_0$인 퍼텐셜에너지 우물에서 바닥상태로부터 차례로 채워져 있다. 그림에서는 금속 외부에 정지하고 있는 전자의 에너지를 0으로 둔 것이다. 절대온도 0 K 일 때 전자는 페르미 에너지 $\varepsilon_F$까지 채우게 된다. 따라서 금속으로부터 전자 하나를 떼어내는 데 필요한 최소에너지가 '광전효과'에서 정의한 일함수이다. 즉, \[ W_0 = U_0 - K_F = -\varepsilon_F \] 실제로 일함수는 절대영도에서만 명확하게 정의된다. 자유전자들은 온도 $T$에서 열적평형상태에 있으면 운동에너지가 $K_F$ 부근의 전자들이 약간의 에너지를 더 가질 수 있어서 일함수는 조금 줄어들 수 있다. 그러나 상온에서 $kT$의 값은 0.025 eV 정도이므로 수 eV의 일함수에 비해서 미미하다.

두 금속이 접합한 예

두 개의 서로 다른 금속이 접합(contact)할 때 그들 사이에는 접촉전위(contact potential 혹은 Volta potential)라 하는 전위차가 생기게 된다. 두 금속 A와 B의 페르미 에너지가 각각 -2 eV 와 -3 eV 라고 하자. 그리고 금속 내부에서의 퍼텐셜에너지가 각각 -4 eV, -6 eV 라고하자. 이때 역시 퍼텐셜에너지의 기준은 금속 바깥에 정지해 있는 전자에 대한 것이다. 이들이 접촉하게 되면 A의 페르미 준위 부근의 전자들은 B로 이동할 것이다. 그러나 약간의 전자가 이동하게 되면 B의 전위가 낮아지기 때문에 전자가 느끼는 퍼텐셜에너지는 올라가게 된다. 이러한 전자의 흐름은 두 페르미 준위가 같아질 때까지 지속되어 곧 평형을 이루게 된다. A는 전자가 줄어드는 것 때문에 페르미 에너지는 약간 낮아지고, B는 그 반대가 될 것이나 실제로 전자의 이동량은 미미하기 때문에 이 효과는 무시할 수 있다. 결과적으로 A는 약간이 양전하로, B는 약간이 음전하로 대전된 상태가 되기 때문에 두 금속은 전위차를 가지게 되는 데 이는 두 금속의 페르미 에너지의 차이에 해당하는 1 V 가 될 것이다. 즉 B를 기준으로 A의 전위가 1 V 인 데 전자의 퍼텐셜에너지로는 B가 A에 비해서 1 eV 의 높은 값을 가진다.

[질문1] 운동에너지가 3 eV 인 전자가 금속에 부딪혀서 금속내부로 들어간다. 내부에서의 운동에너지가 8 eV 로 된다면 금속의 퍼텐셜에너지 깊이 $U_0$는 얼마일까?

[질문2] 금속 A는 $U_0$ = 3.0 eV, $K_F$ = 3.0 eV, 금속 B는 $U_0$ = 3.5 eV, $K_F$ = 2.0 eV 이다. 이 둘이 접합했을 때의 퍼텐셜에너지 그래프를 도형으로 그려서 페르미 에너지를 나타내어라. 또 이의 접촉전위는 얼마이고, 전위가 높은 쪽은 어디인가?

[질문3] 가상의 금속 A가 있다. 이 금속은 7 eV의 광자를 흡수했을 때 최대 3 eV의 광전자를 방출한다. 금속 A의 자유전자는 5 eV의 운동에너지를 가지는 정도까지 채워져 있다. (a) 페르미 준위는 얼마인가? (b) 일함수는 얼마인가? (c) 퍼텐셜에너지 깊이 $U_0$는 얼마인가?

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