광활성

광활성의 이론

왼원편광과 오른원편광의 속도차이가 광활성을 생기게 한다.

복굴절은 서로 직교하는 두 선편광 상태가 각기 다른 속도를 가지는 것이다. 그렇다면 직교하는 왼원편광과 오른원편광이 다른 속도를 가진다면 어떨까? 다음 그림에서 이런 경우 광활성과 비슷한 결과가 나오는 것을 살펴볼 수 있다. 매질 속으로 진입하는 선편광을 두 원편광의 합성된 것으로 분해하여 각각이 다른 속도(즉, 굴절률)를 가지고 진행하게 하였다. 매질 속에서의 속도차이 때문에 진행할수록 위상 차이가 크게 생기고 결국 이들이 합성되어 나타나는 실제의 상태는 점진적으로 편광면이 회전하는 결과로 나타나게 된다. ('존스 벡터 표현' 에서 선편광을 원편광의 결합으로 이해한 '직교하는 두 편광상태의 결합'을 참고하라)

위 그림을 통해서 광활성이 일종의 원편광에 대한 복굴절일 수 있다는 것을 알아보았다. 이제 이를 이론적으로 규명한다. 매질에 진입하는 빛이 x선편광되어 있다고 하고 이를 다음처럼 왼과 오른원편광의 합성된 것으로 분해하자. \[ \left[\array{ 1 \\ 0 } \right] = \frac{1}{2} \left[\array{ 1 \\ i } \right] + \frac{1}{2} \left[\array{ 1 \\ -i } \right] \] 왼원편광의 굴절률이 $n_L$, 오른원편광의 굴절률이 $n_R$으로 둘 사이에 광속의 차이가 있는 물질로 진입해 들어간다고 하자. 물질 속에서 거리 $l$ 만큼 진행하면 두 원편광이 다른 위상을 얻게 되어 \[ \frac{1}{2} \left[\array{ 1 \\ i } \right] e^{ik_L l} + \frac{1}{2} \left[\array{ 1 \\ -i } \right] e^{ik_R l} = e^{i \frac{k_L + k_R}{2} l} \left\{ \frac{1}{2} \left[\array{ 1 \\ i } \right] e^{i \frac{k_L - k_R}{2} l} + \frac{1}{2} \left[\array{ 1 \\ -i } \right] e^{-i \frac{k_L - k_R}{2} l} \right\} = e^{i \psi} \left[\array{ \cos(-\theta) \\ \sin(-\theta) } \right] \] 으로 정리된다. 마지막 항의 편광상태는 $x$에서 $y$ 방향으로 $-\theta$만큼 회전된 선편광이다. 이는 광활성의 회전각을 우선성일 때를 $+$, 좌선성일 때를 $-$로 나타내므로 회전각은 $\theta$이다. 또한 $\psi$는 $\frac{k_L + k_R}{2} l$으로 총위상량이어서 편광의 관점에서는 의미없는 항이다.

이제 회전각 $\theta$는 다음과 같이 두 원편광의 굴절률 차이로 정리된다. \[ \theta = \frac{k_L - k_R}{2}l = (n_L - n_R) \frac{\omega }{2c}l = (n_L - n_R) \frac{\pi}{\lambda_0}l \] 회전각은 진행거리 $l$에 비례해서 물질 속을 진행함에 따라 점진적으로 회전하는 것을 알 수 있다. 이때의 비례상수가 바로 광회전능으로 \[ \rho = (n_L - n_R) \frac{\pi}{\lambda_0} \] 이다. 광회전능은 활성을 가진 물질의 고유한 특성으로 수정은 500nm에서 약 31^o/mm, 400nm에서 약 49^o/mm 이다.

광활성의 이론

'유전체에서 빛의 전파' 에서 취급했던 전기감수율 텐서가 다음과 같이 비대각요소로서 대칭성분이 서로 켤레(공액)인 허수값을 가진다고 가정하자. \[ \mathbf{\chi} = \left[\array{ \chi_x & i \xi & 0 \\ -i \xi & \chi_x & 0 \\ 0 & 0 & \chi_x } \right] \] 편의상 비대각요소에 $xy$ 성분만 있는 것으로 하였으며, $\xi$는 실수라 하자. 또한 대각요소는 같은 값으로 해서 등방성 물질을 고려한다. 이를 '유전체에서 평면파'에서의 $\mathbf{k}$와 $\mathbf{E}$의 관계식에 적용하되 여기서는 z방향으로 진행되는 평면파만을 고려한다. 그러면, \[ \eqalign{ -k^2 E_x + \frac{\omega^2}{c^2} E_x &=& - \frac{\omega^2}{c^2} (\chi_x E_x + i\xi E_y) \\ -k^2 E_y + \frac{\omega^2}{c^2} E_y &=& - \frac{\omega^2}{c^2} (-i \xi E_x + \chi_x E_y) \\ \frac{\omega^2}{c^2} E_z &=& - \frac{\omega^2}{c^2} \chi_x E_z } \] 위 셋째 식은 $E_z$가 0 이라는 것을 보여준다. 그리고 첫째와 둘째 식을 만족하는 $E_x, E_y$가 존재하기 위해서는 연립방정식의 행렬요소의 행렬식이 0 이 되어야 한다. 즉, \[ \left|\array{ -k^2 + (\omega/c)^2 ( 1+\chi_x ) & i(\omega/c)^2 \xi \\ -i(\omega/c)^2 \xi & -k^2 + (\omega/c)^2 ( 1+\chi_x ) } \right| = 0 \] 이를 만족하는 $k$는, \[ k = \frac{\omega}{c} \sqrt{1+\chi_x \pm \xi} \] 이다. 또한 두 개의 $k$값에 대응되는 전기장을 구하면 $\pm$ 순서를 그대로 해서, \[ E_x = \pm i E_y \] 이다. 여기서 $+$일 때는 오른원편광, $+$는 왼원편광임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 $k$ 값 각각은 다음과 같이 $n_L, n_R$에 대응된다. \[ \array{ n_R &=& \sqrt{1+\chi_x + \xi} \\ n_L &=& \sqrt{1+\chi_x - \xi} } \]

광활성의 근원

그렇다면 왜 전기감수율에서 허수의 비대각성분이 있을까?

이에 대한 그럴듯한 모형으로서 용수철처럼 나선구조를 하고 있는 분자가 있다고 하자. 실제로 수정결정 내부의 실리콘이나 산소원자들이 광축을 중심으로 하여 오른쪽이나 왼쪽으로 배열되어 있는 것으로 생각할 수 있다. 시간에 따라 변하는 자기장이 나선의 축방향으로 걸린다면, 자기장의 선속이 변하면 패러데이 법칙에 의해 전기장이 생겨나고, 이는 주변을 감싸는 나선구조에 전류를 흐르게 한다. 즉 자기장의 변화는 나선구조에 있는 전자를 자기장에 수직한 평면에 대해 회전운동시키고, 이 운동은 나선구조 때문에 자기장 방향이나 그 반대방향으로의 전기 쌍극자를 만들 수 있다. 따라서 이것이 만드는 쌍극자 모멘트는 \[ \mathbf{p} = \beta \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \] 이다. 오른쪽 항은 $\nabla \times \mathbf{E}$항에 비례하므로 분극밀도 벡터는 \[ \mathbf{P}_{B} \propto \nabla \times \mathbf{E} \] 원래의 전기장에 의한 분극과 여기서의 자기장에 의한 분극을 총체적으로 고려하면 감수율 텐서에 앞서 도입한 비대각요소의 항이 첨가되는 것을 확인할 수 있다.

[질문1] 위 그림에서 빛의 진행이 거꾸로 되면 편광상태는 그림과 같은 모양을 따라갈까?

[질문2] 광회전능이 $\rho$이고 길이가 $l$인 광활성체의 존스 행렬을 구하고, 또한 이것이 좌표계의 회전변환에 대해 불변임을 보여라.

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