핵분열

핵분열의 모형

무거운 핵은 분열해서 안정된 상태로 되고, 잉여 에너지를 방출한다.

'핵모형' 단원에서 핵이 중성자와 양성자가 결합한 형태로서 이들이 가까운 거리에서만 작용하는 핵력으로 덩어리 지어지는 원리를 살펴보았다. 이 중에서 '물방울 모형'은 고전적으로 해석한 것이지만 양자론으로 모형을 수정하여 핵의 형성을 상당한 수준으로 이해할 수 있었다. 다음 그림은 물방울 모형으로 계산한 핵자당 결합에너지로 $A\approx 240$ 주변의 무거운 핵이 둘로 분열했을 때 에너지가 방출될 수 있을 가능성을 보여준다. $A\approx 240$ 핵자당 결합에너지가 7.6 MeV 정도이고, $A\approx 120$인 경우는 8.5 MeV 정도이므로 핵자당 ~ 0.9 MeV의 이득이 생겨서 약 220 MeV의 에너지가 방출될 수 있을 것이다. 실제로는 무거운 핵이 가진 중성자가 일부 방출되므로 이것이 가지고 나가는 에너지를 제외하면 결과적으로 약 200 MeV의 에너지가 방출된다.

핵이 분열해서 에너지의 이득이 생기는 여부는 물방울 모형에서의 결합에너지에 기여하는 것들 중에서 오직 표면항과 쿨롱항을 비교해 보면 된다. 예를 들어 질량수가 $A$인 핵이 동일한 수의 두 핵으로 나누어진다면 이때의 결합에너지의 차이는 \[ \Delta E_B = 2 E_B(\frac{A}{2}, \frac{Z}{2}) - E_B(A, Z) = a_S A^{2/3} \left[ 1 - 2 \left(\frac{1}{2} \right)^{2/3} \right] + a_C \frac{Z^2}{A^{1/3}} \left[ 1 - 2 \frac{2^{-2}}{2^{-1/3}} \right] \] 이다. 여기서 쿨롱항의 $Z(Z-1)$을 $Z^2$으로 근사하였다. 이 식을 정리하고 $a_C$와 $a_S$를 앞서 물방울 모형에서의 경험값을 대입하면 \[ \Delta E_B = - 0.26 a_S A^{2/3} \left( 1 - 1.42 \frac{Z^2}{A} \frac{a_C}{a_S} \right) = - 0.26 a_S A^{2/3} \left( 1 - \frac{1}{18.0} \frac{Z^2}{A} \right) \] 으로 된다. $\Delta E_B \gt 0$인 경우에는 에너지의 이득이 생기므로 분열이 일어날 수 있는 조건은 대략 다음과 같다. \[ \begin{equation} \label{eq1} {\large \boxed{ \frac{Z^2}{A} \gt 18.0 }} \end{equation} \] 분열을 할 때 방출되는 에너지, 즉 Q 값은 $Q \approx \Delta E_B$가 될 것이다.

핵분열이 일어나려면 에너지 장벽을 넘어야 한다.

그러나 분열을 하는 것이 에너지 측면에서 이익이라면 지구에 무거운 핵이 존재하는 이유는 무엇일까? 무거운 핵이 즉각 분열하지 않고 발견되는 이유는 분열을 방해하는 요인이 있기 때문일 것이다. 앞서 '집단 핵모형' 절에서와 같이 구형의 핵이 진동하는 것을 다시 생각해 보자. 물방울 모형은 핵이 완전히 공 모양을 하고 있는 것으로 생각했지만 실제의 물방울과 마찬가지로 핵이 다양한 형태로 진동할 수 있다는 것을 알았다. 구형이 평형상태라는 것은 이 형태에서 변형이 일어나면 탄성에 의해 구형으로 복귀한다는 것이다. 물방울에서는 표면장력이 이러한 복원력의 근원이 된다. 그러나 핵의 양성자끼리의 반발력은 이렇게 구형으로 복원되는 것을 방해할 것이므로 변형이 커지면 구형으로 영원히 되돌아가지 못할 가능성이 있을 것이다.

핵의 방울이 다음과 같이 $z$ 축에 대한 대칭으로 변형되는 것을 고려하자. \[ \begin{equation} \label{eq2} R(\theta) = R_{0} \left[ 1 + \sum^{\infty}_{l=2} \alpha_{l} P_{l} (\cos \theta) \right] \end{equation} \] 이는 집단 핵모형에서의 진동식에서 $z$ 축에 대한 대칭으로 변형되는 것으로 하고, 아울러 $l=0$과 $l=1$의 모드는 무시한 것이다. 핵이 구형에서 변형되는 정도에 따라 표면적도 달라지고, 또한 핵 속의 양성자에 의한 반발력도 달라진다. 같은 체적을 가지는 조건에서 변형이 일어나면 표면적은 커져서 결합에너지에서의 표면항은 다음과 같이 달라진다. \[ E_S = - a_S A^{2/3} \left[ 1 + \frac{2}{5}\alpha_2^2 + \cdots + \frac{(l-1)(l+2)}{2(2l+1)} \alpha_l^2 \right] \] 여기서 $[\cdots]$ 항이 표면적이 완전한 구에 비해서 증가한 비율이다. 변형이 커지면 결합에너지가 줄어들게 되고, 따라서 이러한 변형이 일어나기 위해서는 추가의 에너지가 필요해진다. 한편 양성자끼리의 반발력에 의한 결합에너지의 기여, 즉 쿨롱항은 \[ E_C = - a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} \left[ 1 - \frac{1}{5}\alpha_2^2 - \cdots - \frac{5(l-1)}{(2l+1)^2} \alpha_l^2 \right] \] 으로, 변형이 커지면 결합에너지를 더 크게 해준다. 이는 변형을 하게 되면 잉여의 에너지가 방출될 수 있음을 의미한다. 즉, 표면항과 쿨롱항은 서로 반대로 작용한다.

위 그림은 핵의 주요한 진동모드인 $l=2$을 나타내고 있다. 이 경우 표면항과 쿨롱항의 효과를 합해서 결합에너지의 변화를 표현하면 \[ \Delta E_B = - a_S A^{2/3} \frac{2}{5} \left[ 1 - \frac{Z(Z-1))}{A} \frac{a_C}{2a_S} \right] \alpha_2^2 \] 이다. 앞서처럼 $Z(Z-1) \approx Z^2$로 놓고 또한 $a_C$와 $a_S$를 물방울 모형에서의 값을 쓰면, \[ \begin{equation} \label{eq3} \Delta E_B = - 0.4 a_S A^{2/3} \left[ 1 - \frac{1}{51.4} \frac{Z^2}{A} \right] \alpha_2^2 \end{equation} \] 이 식은 $z$ 축으로 늘어나는 $l=2$의 변형량이 커지면 그 정도$(\alpha_2)$의 제곱에 비례해서 결합에너지의 크기가 커지는 것을 뜻한다. 만일 이 식에서 $[\cdots]$의 부호가 $+$ 이라면 변형이 커질 때 결합에너지가 줄어들어 핵의 변형은 억제될 것이다. 즉 약간의 변형이 가해지더라도 곧 구형의 평형상태로 되돌아가게 될 것이다. 이는 집단 핵모형에서 본 것처럼 조화진동을 하는 것을 설명한다. 그러나 $[\cdots]$의 부호가 $-$라면 변형이 지속적으로 일어나버린다. 이는 \[ \begin{equation} \label{eq5} {\large \boxed{ \frac{Z^2}{A} \gt 51.4 }} \end{equation} \] 인 경우이지만 자연상태의 핵종에서는 이러한 조건이 충족될 수 없다. 예를 들어 $^{235}_{~~92}\mathrm{U}$는 $Z^2/A \approx 36 $으로 51.4보다는 작다. $Z^2/A$이 51.4보다 큰 핵은 실제로 형성될 수조차 없다. 그러나 $A$가 커지면 $Z^2/A$는 따라서 커지므로 \eqref{eq3} 식의 $[\cdots]$이 크기는 점차 작아져서 변형이 보다 쉽게 일어날 것으로 생각할 수 있다.

이제 둘로 분리된 두 핵을 가정해서 둘 사이의 거리에 대한 퍼텐셜에너지를 추정해 보자. 퍼텐셜에너지는 결합에너지의 $-$로 이해할 수 있다. 오른쪽 그림은 둘이 아주 멀리 떨어져 있을 때를 기준으로 삼아서 퍼텐셜에너지를 세 영역으로 나누어 나타낸 것이다. 처음 I 영역에서는 구형의 방울이 타원체로 조금 변형될 때로, \eqref{eq3} 식에서의 $-\Delta E_B$이 퍼텐셜에너지의 형태가 된다. 여기서 변형거리는 $\alpha_2$에 비례하는 것으로 볼 수 있으므로 그림에서처럼 퍼텐셜이 $r^2$의 의존성을 가진다. II 영역은 거리가 멀어져서 강력하게 작용하던 핵력이 줄어들면서 양성자끼리의 반발력이 커지는 과도기이다. III 영역은 이제 핵이 완전히 분리되어 각각이 가지고 있는 +의 전하에 의한 반발력으로 거리에 반비례하는 퍼텐셜에너지가 나타나고 있다. II 영역의 퍼텐셜의 모양은 정확하게 표현하기는 어렵겠지만 I과 III의 퍼텐셜의 꼴로부터 쉽게 추정할 수 있을 것이다.

자발적인 핵분열이 일어나기는 어렵다.

분열가능한 핵이라도 I 영역의 경사가 완만할 수도 있고, 급할 수도 있으므로 II 영역 주변에서 형성되는 퍼텐셜 장벽의 폭과 두께는 달라질 것이다. 그러나 분열가능핵의 대부분은 이 장벽이 높아서 스스로 분열할 확률은 매우 작다.

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