핵모형

물방울 모형

작은 물방울이 뭉쳐서 큰 물방울이 되는 것과 비슷하다.

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잎 위의 물방울_ 물방울은 서로 붙으면 순식간에 큰 덩어리로 된다. 이는 두 물방울이 큰 덩어리로 되어서 표면적을 줄이려는 경향 때문이다. 물방울끼리의 인력은 가까운 거리에서 크게 작용하는 핵력과 비슷하여 여러 핵자로 된 핵이 형성되는 과정과 닮았다.

안정된 핵이 핵종에 관계없이 밀도가 거의 같고, 핵자당 결합에너지가 거의 비슷한 값을 가지고 있다는 사실로부터 핵의 형성을 큰 물방울이 형성되는 것과 비슷하게 이해할 수 있다. 또한 작은 물방울은 서로 접촉할 정도가 되면 급격한 인력으로 한 덩어리로 되는 것이 가까운 거리에서만 작용하는 핵력으로 핵이 형성되는 것과 비슷하다. 물방울이 형성되는 힘의 근원은 물론 원자 내부의 전하분포에 의한 전자기력이지만 거시적인 효과로 나타나는 것은 표면장력이다. 즉 표면적을 줄이려는 경향이 서로 접촉한 두 물방울을 한 덩어리로 만드는 것이다. 아울러 물은 비압축성이라는 것과 핵의 밀도가 부피에 관계없이 거의 일정하다는 것도 둘 사이의 유사한 점이다. 실제 핵자들도 비슷하게 보다 큰 덩어리를 만들어서 그 표면적을 줄이려고 하지만 실제의 물방울과는 달리 핵자의 수가 커지면 덩달아 양성자의 수가 많아지고, 이들 사이의 전자기적인 반발력이 커져서 무한히 커지는 것을 방해한다. 이렇게 핵의 결합을 물방울로 비유하되 전자기적인 반발력이나 양자역학적인 효과도 감안한 모형을 물방울 모형(liquid drop model)이라 한다.

이제 $Z$개의 양성자와 $N$개의 중성자로 된 핵이 구형으로 형성될 때의 결합에너지를 계산해 보자. 이 구의 부피는 질량수 $A=Z+N$에 비례하므로 반경은 $A^{1/3}$에 비례하고, 표면적은 $A^{2/3}$에 비례한다. 따라서 이것까지 고려한 결합에너지(binding energy)는 \[ E_{V,S} = a_V A - a_S A^{2/3} \] 이다. 여기서 첫 항은 부피항(volume term)으로 결합에너지가 질량, 즉 부피에 비례하는 것을 나타내고 이의 세기를 결정하는 $a_V$는 인접한 두 핵자사이의 핵력과 관련된다. 또한 두 번째 항은 표면항(surface term)으로 표면의 핵자는 내부의 것에 비해서 인접한 핵자의 수가 절반이 채 못되기 때문이다. 즉 부피항에서 초과되게 반영된 표면의 기여를 빼주는 것으로 물방울이라면 표면장력을 만들 것이다.

이제 실제의 물방울에서와 달리 핵 속에 포함되어 있을 양성자들에 의한 반발력 등이 추가로 작용한다. 이것이 쿨롱항(Coulomb term)으로 다음과 같이 표현된다. \[ E_{C} = - a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} \] 이는 $Z$개의 양성자가 만드는 $Z(Z-1)/2$개의 쌍이 있고, 또한 이들 사이의 평균거리가 $A^{1/3}$에 비례하기 때문이다.

아래 그림은 이 항까지 반영하여 계산한 결합에너지를 핵자수 $A$로 나눈 핵자당 결합에너지를 나타내고 있다. 그림에서 알 수 있듯이 부피항의 기여는 핵자수에 관계없이 $a_V$로 일정하며, 그 외는 모두 음의 기여로 핵자의 수에 따라 달라진다. 이에 따라 붉은 그래프로 나타낸 핵자당 결합에너지는 핵자수가 많아질 수록 커지다가 $A=50$ 주변부터 서서히 줄어든다.

양자론적인 효과가 더해진다.

이상과 같은 고전론의 효과 외에도 양자역학의 효과도 반영해야 한다. 나중 페르미 기체 모형과 껍질모형에서 자세히 설명하겠지만 인력인 핵력에 의해 핵 속에 구속된 핵자는 퍼텐셜 우물 속에 붙잡혀 있는 입자로 볼 수 있다. 이들 입자는 띄엄띄엄한 양자상태에 있을 수 있고, 또한 한 양자상태에는 두 개까지의 입자가 올 수 있다. 양성자와 중성자는 허용된 양자상태가 거의 비슷하지만 이때 둘은 별개의 입자이므로 만일 둘 중 한 종류가 더 많아지면 상대적으로 더 높은 에너지 준위에 배치될 수 밖에 없다. 따라서 양성자와 중성자가 엇비슷한 수로 있어야 하고, 만일 둘 사이에 차이가 있다면 이러한 결합을 방해할 것이다. 이 비대칭(asymmetry)은 결합에너지를 줄이게 되어 다음의 비대칭항(asymmetry term)을 만든다. \[ E_{A} = -a_A \frac{(N-Z)^2}{A} = -a_A \frac{(A-2Z)^2}{A} \] 이 항은 $N=Z$에서 벗어나는 정도의 제곱에 비례하게 결합에너지는 줄인다.

마지막으로, 핵자의 스핀이 2가지로 한 양자상태에 서로 다른 두 핵자가 있을 수 있고 여기에서 핵자가 하나 더해지면 더 높은 상태로 올라가야 하는 짝짓기 효과를 고려해야 한다. 이에 의한 기여, 즉 짝짓기항(pairing term)은 \[ E_{P} = \pm a_P \frac{1}{A^{1/2}} \] 으로 상황에 따라 결합을 방해하거나(-) 돕는(+) 형태로 나타난다. 예를 들어 $Z$와 $N$이 모두 짝수이면 +, 모두 홀수이면 - 이고, 하나는 짝수, 나머지는 홀수이면 평균적인 상황으로 $a_P$를 0 으로 본다. 비대칭항에서의 $(A-2Z)^2/A$ 기여나 짝짓기항에서의 $A^{-1/2}$의 기여는 양자역학적인 특성으로 이해할 수 있고 아울러 실측 데이터에도 잘 부합된다.

이제 이들 모든 효과를 다 반영하여 결합에너지를 표현하면 \[ \begin{equation} \label{eq1} E_B (A, Z) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} -a_A \frac{(A-2Z)^2}{A} \pm a_P \frac{1}{A^{1/2}} \end{equation} \] 이고 이들 계수 $(a_V, a_S, a_C, a_A, a_P)$는 모두 양수이다. 실험데이터를 비교적 잘 맞추는 계수 $a$는 모두 MeV 단위로 나타내면 \[ a_V \approx 15.85, ~~\quad a_S \approx 18.34, ~~\quad a_C \approx 0.714, ~~\quad a_A \approx 23.21, ~~\quad a_P \approx 12.00 \] 이다. (근사식에 맞추는 데 도입한 핵들의 개수나 맞추는 방법에 따라 이들 값은 약간의 차이가 있다)

이제 핵의 질량은 그 핵을 구성하는 양성자와 중성자의 질량에서 이들이 결합하면서 방출하게 되는 에너지, 즉 결합에너지의 기여를 빼면 된다. \[ \begin{equation} \label{eq2} M(A,Z) = (A-Z)m_n + Z m_p - \frac{E_B (A,Z)}{c^2} \end{equation} \] 여기서 $m_n$과 $m_p$는 각각 중성자와 양성자의 질량이다. 이로써 알 수 있듯이 핵의 결합에너지는 그것의 질량을 측정하여 쉽게 구할 수 있다. 이 식은 안정된 핵들의 질량에 대해 대체로 잘 성립하는 근사식으로 준경험적 질량 공식(semiempirical mass formula)이라 한다.

[질문1] 아연의 동위원소인 $^{64}_{30}\mathrm{Zn}$ 핵의 질량은 63.929,142,3 u 이다. 이의 질량을 \eqref{eq2} 식의 준경험적 질량 공식으로 추정해서 실측치와 비교하라.

[질문2] $^{107}_{~~47}\mathrm{Ag}$ 핵은 은의 안정된 동위원소이다. 이의 질량을 \eqref{eq2} 식의 준경험적 질량 공식으로 추정해서 실측치 106.905,098 u 와 비교하라.

[질문3] 계수 $(a_V, a_S, a_C, a_A, a_P)$를 다음의 값으로 이용하는 경우도 있다. 이 값으로 앞의 두 질문에서의 $^{64}_{30}\mathrm{Zn}$과 $^{107}_{~~47}\mathrm{Ag}$ 두 원자핵의 질량을 추정해서 실측치와 비교하라. 이에 따라 어떤 계수를 선택하는 것이 더 정교한 지를 판단하라. \[ a_V \approx 15.75, ~~\quad a_S \approx 17.8, ~~\quad a_C \approx 0.711, ~~\quad a_A \approx 23.7, ~~\quad a_P \approx 11.18. \]

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