반도체 물리학

n-형 반도체와 p-형 반도체를 접합시키면 금속에서와 비슷하게 둘의 페르미 에너지가 같아질 때까지 전자가 양공과 결합하게 된다. n-형에서 p-형으로 전자가 이동하는 것은 둘의 접합면에 가까운데서 주로 일어나게 되어 그 지역은 이동할 수 있는 전하가 결핍(depletion)된다. 전하가 결핍되기는 하지만 그지역의 n-형 반도체는 불순물 원소가 + 이온으로, p-형 반도체는 불순물 원소가 - 이온으로 되어 있기 때문에 경계 양쪽으로 전위차가 생겨서 페르미 준위가 이동할 수 있는 것이다. 아래 그림은 이러한 과정을 도식으로 보여준다.

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접합 다이오드의 퍼텐셜_ 왼쪽의 n-형 반도체와 오른쪽의 p-형 반도체가 서로 접합하게 되면 경계 부근의 전자와 양공이 결합하여 둘의 페르미 에너지가 같아지게 된다. 녹색선은 페르미 에너지이다.

위 그림에서 보듯이 n-형 반도체에서 p-형 반도체로 전자가 이동하는 것은 두 페르미 준위가 같아질 때까지다. 이렇게 평형상태에 도달하면 전하의 이동이 멈추게 된다. 이에 따라 원래의 페르미 준위차와 같은 접촉전위가 생기게 된다. 이 접촉전위를 $V_0$ 라 하면 이는 n-형이 p-형보다 이만큼 더 높은 전위를 가지는 것이다.

비록 평형상태이기는 하지만 전자나 양공이 확산되어 재결합되거나 열에너지로 다시 생겨나는 일이 계속된다. 그러나 생기는 비율과 소멸하는 비율이 동일하고, 또한 양공이나 전자 각각에 대해 두 반도체를 넘나드는 수는 동일해서 각 영역의 전자농도나 양공의 농도는 일정하게 유지될 것이다.

전류를 흐르게 하는 것은 전자나 양공 두 가지 모두이지만 여기서는 전자의 행동을 주목해서 해석하도록 한다. n-형에서 p-형으로 건너가는 전자와 거꾸로 이동하는 전자에 의한 두 가지 유형의 전류가 있어 각각 $I_{\rightarrow}$, $I_{\leftarrow}$라고 두자. 여기서 $\rightarrow, \leftarrow$는 전자의 이동방향을 나타내므로 실제 전류가 흐르는 방향은 화살표의 방향과 반대라는 것을 유의하도록 하자.

n-형에 있는 전도띠의 전자가 접촉전위에 의해 생긴 퍼텐셜 계단을 극복할 수 있는 에너지를 얻어야 p-형의 전도대로 이동할 수 있다. 이 상황은 아래 그림 (a)에 나타낸다. 접촉전위 $V_0$에 대해 전자가 느끼는 퍼텐셜 계단의 높이는 $eV_0$이므로 $I_{\rightarrow}$는 다음과 같다. \[ I_{\rightarrow} = A N^-_n \exp \left[ - \frac{eV_0}{kT} \right] \] 여기서 $N^-_n$는 n-형 반도체에 있는 전자밀도로서 식에서 이를 곱한 것은 이동확률, 나아가서 전류가 열적으로 들뜰 가능성을 가진 대상의 수에 비례하기 때문이다. 한편 n-형에서 p-형으로의 전류 $I_{\leftarrow}$는 전자가 낮은 퍼텐셜에너지로 흘러가는 것이므로 온도에도 무관하다. 그뿐만 아니라 두 반도체 사이의 퍼텐셜의 차이에도 무관하다. 이를 $I_0$로 나타면, \[ I_0 = I_{\leftarrow} = A' N^-_p = \mathrm{const.} \] 으로 이는 p-형 반도체에 있는 전자밀도 $N^-_p$에만 비례하고 다른 의존성이 없다. n-형과 p-형을 접촉시켰을 때 $I_{\rightarrow}$와 $I_0$가 일치하는 조건이 되는 전위차 $V_0$가 만들어 졌으므로 당연히 \[ I_0 = I_{\rightarrow} \] 이다. 따라서 \[ N^-_p = \frac{A}{A'} N^-_n \exp \left[ - \frac{eV_0}{kT} \right] \] 의 관계가 유지되어야 하는 것을 알 수 있다.

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접합 다이오드의 작동_접합 다이오드에 전압이 걸렸을 때 전자의 흐름을 나타낸다. (a)는 바이어스 전압이 걸려있지 않는 경우로 $I_{\rightarrow}$와 $I_{\leftarrow}$가 동일한 값으로 평형을 이루고 있다. (b)는 순바이어스가 걸려 있어 $I_{\rightarrow}$가 $I_{\leftarrow}$ 보다 큰 값을 가진다. (c)는 역바이어스가 걸려서 $I_{\rightarrow}$가 $I_{\leftarrow}$ 보다 작다. 그림에서의 화살표는 전자의 이동량과 방향을 표시한 것으로 전류는 이것의 반대 방향으로 흐른다.

바이어스 전압을 걸었을 때

이제 위 그림 (b)처럼 외부에서 전압을 걸어주는 상황을 생각해 보자. n-형에 대해서 p-형에 $V$의 전압을 걸게되면 접촉전위에서 이 전압만큼 줄어든 전위차 $V_0-V$가 생긴다. 이때 앞에서 고려한 $I_{\leftarrow}$는 $I_0$ 그대로이고 $I_{\rightarrow}$만 달라져서 \[ I_{\rightarrow} = A N^-_n \exp \left[ - \frac{e(V_0-V)}{kT} \right] = \left\{A N^-_n \exp \left[ - \frac{eV_0}{kT} \right] \right\} \exp \left[\frac{eV}{kT} \right] \] 이다. 이제 $\rightarrow$과 $\leftarrow$의 첨자가 전자의 방향을 나타내는 것을 유의해서 왼쪽으로 흐르는 알짜전류를 정리하면, \[ \begin{equation} \label{eq1} \fbox{$ \large I = I_{\rightarrow} - I_{\leftarrow} = I_0 \left( e^{eV/kT} -1 \right) $} \end{equation} \] 이다.

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접합 다이오드의 I-V 특성_접합 다이오드의 전압-전류 특성을 나타낸다. 순방향 바이어스일 때는 전압이 ~1 V 이하에서 급격하게 증가하여 거의 통전상태가 된다. 이때 그래프가 급하게 꺾이는 위치 $V_K$를 무릎전압이라 하는 데 실리콘은 ~0.7 V, 게르마늄은 ~0.3 V 이다. 역바이어스일 때는 거의 전류가 흐르지 못하여 이 영역을 1000배 크게 확대하여 나타내고 있다.

\eqref{eq1} 식은 접합다이오드의 전압과 전류의 관계, 즉 I-V 특성으로 이것으로 하나의 전자소자의 특성을 규정할 수 있다. 식을 살펴보면 $V$의 부호와 $I$의 부호가 항상 같아서 보통의 저항체처럼 높은 전위에서 낮은 전위로 전류가 흐르는 것을 알 수 있다. 그러나 전류의 크기가 걸어준 전압에 단순하게 비례하지 않는다. 즉 옴의 법칙이 성립하지 않고, 따라서 보통의 저항체가 아니다! $V \gt 0$일 때는 $V$가 커짐에 따라 급격하게 전류가 많이 흐르나 $V \lt 0$일 때는 곧 일정한 전류 $I_0$에 이르게 된다. $N^-_p$는 p-형 반도체에서 소수운송자의 밀도로서 이 값이 매우 작아서 $I_0$도 수십 pA정도의 작은 값을 가지고 있다. 이 $I_0$를 포화전류(saturation current)라 한다.

$V \gt 0$일 때를 순바이어스(forward bias: 순방향 바이어스), $V \lt 0$일 때를 역바이어스(reverse bias: 역방향 바이어스)라고 한다. 이렇게 이름하는 것은 접합 다이오드가 순방향에서는 거의 회로를 단락시키는 것 같이 작동하고, 역방향일 때는 회로를 차단하는 것과 같이 작동하기 때문이다.

위 그림 (b)처럼 순바이어스일 때에 대해 구체적인 전류의 흐름을 생각해 보자. 다이오드에 연결된 전원은 p-형 반도체의 전극에서 전자를 떼어서 도선을 따라 n-형 반도체의 전극으로 밀어보낸다. 이때 p-형의 전극 부근에는 양공이 동시에 생겨난다. n-형 반도체에 공급된 전자는 전도띠에서 접합부위로 이동하여 p-형 반도체의 전도띠로 건너가서 원자가띠의 양공과 결합한다. 이 양공은 진작 처음에 p-형 반도체의 전극에서 생겨난 것으로 이렇게 쌍생성 된 것이 쌍소멸 되어, 한 전자에 대한 순환과정이 다하게 된다. 이 과정은 중첩되고, 또한 연속적으로 일어나기 때문에 전자는 시계방향으로, 전류는 반시계방향으로 꾸준히 흐르는 것이다.

여기서 n-형 반도체에 있는 다수운송자인 전자의 행동을 주체로 계산했다. 동시에 p-형 반도체의 다수운송자인 양공을 주체로 계산해도 대동소이한 결과를 얻을 수 있다. 양공을 같이 고려한다면 $I_0$는 역바이어스일 때 양공과 전자에 의해 흐르는 최대전류일 것이다.

[질문1] 위 I-V 특성 그래프는 300 K의 실리콘으로 만들어진 어떤 접합 다이오드에 대한 것이라 하자. 만일 온도를 400 K로 올리는 경우, 또한 200 K로 내리는 경우 그래프는 각각 어떻게 변할까? 이때 $I_0$의 온도 의존성도 고려해야 한다.

[질문2] 위 I-V 특성 그래프는 $V_K =$ 0.7 V 인 무릎전압에서 약 2.7 mA의 전류가 흐른다. 또한 $I_0 = $10 μA 이다. 이 데이터로부터 이 다이오드의 온도를 결정하라.

[질문3] 300 K 에서 어떤 접합 다이오드가 순방향 전압 0.1 V 에서 0.1 mA 의 전류가 흐른다. 역방향으로 같은 전압이 걸린다면 얼마의 전류가 흐를까? 또한 순방향 전압 1.0 V 에서 흐르는 전류는 얼마인가?

[질문4] 질문 (3)의 다이오드가 온도가 400 K 에서 작동한다면 순방향 전압 0.1 V 이 걸리면 얼마의 전류가 흐를까?

[질문5] 직류저항은 고정된 바이어스 전압이 걸렸을 때 $\frac{V}{I}$로 정의한다. 질문 (3)에서 다이오드의 순방향과 역방향의 0.1 V 작동점에서의 저항은 각각 얼마인가?

[질문6] 접합 다이오드의 교류저항을 \eqref{eq1} 식을 $V$로 미분한 것의 역수로 정의한다. 이는 교류회로의 작동점 주변에서 저항특성을 나타낸다. 이 교류저항을 $V$의 함수로 표현하고 이것의 대강의 그래프를 그려보라.

[질문7] 요즈음 생산되는 다이오드는 $I_0$가 대체로 1 pA 정도로 과거에 비해서 거의 10만분의 1 가까이 줄었다. 이러한 실리콘 다이오드가 있을 때 전류를 100 mA 흐르게 하는 데 필요한 순바이어스 전압은 얼마인가?