고체의 에너지띠

에너지띠와 전도성

에너지띠에 전자가 차곡차곡 채워진다.

앞서 모의실험을 통해서 격자 사이의 간격이 줄어들면 단일 에너지 상태는 여럿으로 분리되고, 격자수가 많아지면 거의 연속적인 띠 구조를 하는 것을 알았다. 이러한 상황은 2차원이나 3차원에서도 마찬가지이다. 이렇게 형성된 에너지띠는 결정의 전기적, 광학적인 특성을 규정하게 된다.

옆 그림은 격자 사이의 간격이 줄어들 때 띠가 생기는 한 예를 보여준다. 서로 가까워져서 결합하려는 여러 유형의 힘이 작용하나 너무 다가가게 되면 전자가 겹치게 되는 배타원리의 영향으로 급격하게 반발하려는 힘이 나타나서 최종적으로 적당한 거리를 유지하게 된다. 이러한 두 힘이 비기는 '평형거리'로 결정이 형성되는 데 이 거리에서의 에너지띠를 그림의 왼쪽에 나타내었다.

이제 이러한 결정에 전자가 채워진다. 전자는 페르미온이므로 바닥상태로부터 순차적으로 마치 액체가 바닥부터 채워지듯이 허용된 에너지띠를 채운다. 맨 아래의 띠를 채우고 나서 추가되는 전자는 금지띠를 건너뛰고 그 다음 허용된 에너지띠를 다시 채우기 시작한다. 이제 전자가 다 채워진 높이가 페르미 에너지로서 전자의 상한선이 된다. Na 원자를 예로 들어보자. Na 원자는 3s 에 스핀 ↑↓의 두 전자가 허용되는 데 그중 하나가 채워져 있다. 이 원자가 $N$개 모여서 결정을 이루게 되면 3s의 상태는 ↑↓의 $2N$ 개의 전자가 허용되는 거의 연속적인 상태의 띠를 이룬다. 이 띠에 $N$개의 전자만 존재하므로 3s의 띠의 1/2 이 채워진 상태로 있게 된다.

에너지띠의 구조는 고체의 전도성을 결정한다.

원자가 결정을 이루면 그 종류에 따라 에너지띠의 구조가 정해진다. 앞서 예를 든 Na 금속은 3s 띠에 반만 채워진 데다가 그 위의 3p 띠가 이것과 겹쳐 있다. 만일 Na 금속의 꼭지 전자가 열에너지를 조금 얻게 된다면 바로 위 상태로 전이해서 마음대로 움직일 수 있고, 따라서 전류를 잘 통할 수 있다. 이것이 금속이 도체가 되는 이유이다. 이렇게 에너지띠의 구조와 이에 배치된 전자의 상태가 고체의 전도성을 결정하게 된다. 아래 그림에 전도성을 달리하는 여러 유형의 띠 구조를 보여주고 있다.

위 그림에서 (a)는 아래에서 두 번째의 띠가 부분적으로 채워져 있다. 이것은 도체가 되는 하나의 예로 구리 등의 금속이 이에 속한다. (b)의 구조에서는 두 번째 띠가 다 채워졌으나 바로 위 띠가 이것과 일부분 겹쳐져 있어 전자는 쉽게 이 띠로 들떠서 도체가 된다. 마그네슘이 이에 해당한다. (c)는 두 번째 띠가 채워져 있으나 바로 위 세 번째 띠가 금지띠를 넘어 인접한 위치에 있기 때문에 약간의 열에너지로 여기 될 가능성이 있다. 이에 따라 전도성이 도체보다는 못하지만 얼마간 전류를 흘릴 수 있어서 반도체가 된다. (d)는 (c)와 달리 금지띠가 너무 넓어서 그 차이를 상온에서는 도저히 극복할 수 없어서 부도체가 된다.

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