분자결합

아래 프로그램은 두 원자가 서로 접근할 때 상태에 따라 에너지 준위가 낮아져서 분자를 형성하는 것을 보여준다. 계산은 1차원의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 수치해석으로 풀이한 결과이며, 확률밀도함수나 파동함수를 다양하게 보여준다. 아래의 설명을 잘 읽고 실험 절차에 따라 실험해 보자. (이는 '1차원의 여러 퍼텐셜의 수치해석'에서와 동일한 방법으로 프로그램 하였다)

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공유결합 모의실험_ 두 원자가 가까이 접근했을 때 에너지 준위가 낮아지는 것을 파동함수의 해석으로 보여준다. 처음에 나타나는 화면은 두 퍼텐셜 우물이 가까이 놓여 있는 것으로 바닥상태와 첫째 여기상태의 확률밀도함수를 보여준다. 확률밀도는 바닥상태를 푸른 색조로 아래 방향으로, 첫째 여기상태를 붉은 색조로 위 방향으로 나타낸다. 그리고 모두 동일한 색조로 에너지 준위의 눈금과 함께 값을 eV 단위로 나타낸다. 처음에 주어진 퍼텐셜 우물의 깊이는 100 eV 이며 위 슬라이더로 조절할 수 있다. 또한 아래의 슬라이더를 통해 이들 사이의 거리를 nm 단위로 조절하면 에너지 준위와 확률밀도가 달라지는 것을 즉각 계산하여 반영한다. 오른쪽 체크박스를 선택하여, 수소원자의 퍼텐셜로, 다섯째까지의 여기상태 보기로, 파동함수 보기로 설정하여 보다 다양한 상황에 대해 실험해 볼 수 있다.

프로그램 설명

1. 프로그램은 1차원 양자역학의 정상상태를 수치해석으로 풀이하며, 이 결과를 즉각 화면에 나타낸다.

2. 화면의 영역은 약 1nm로 이 범위에서 전자의 배치 상황을 나타낸다. 또한 수치해석에서 가장자리의 파동함수를 0으로 두는 경계조건을 부과하였으므로 가장자리에 무한히 높은 퍼텐셜이 설정된 것으로 생각할 수 있다. 그리고 내부의 퍼텐셜 함수는 회색의 굵게 그렸다. 눈금이 표시된 수평선은

$x$ 축으로 0의 에너지이다.

3. '유사수소 퍼텐셜'을 선택하지 않는 경우는 각각의 퍼텐셜이 깊이가 100 eV, 폭이 0.2 nm 인 퍼텐셜 우물이고, 선택하는 경우는 전자가 서로 떨어진 두 양성자로부터 느끼는 퍼텐셜 그대로이다. 단 이때 양성자에 아주 가까운 경우는 유한한 깊이로 유지하였다.

4. '유사수소 퍼텐셜'의 경우, 대체로 3차원의 수소 둘이 접근하는 상황과 유사하나 이 프로그램은 1차원으로 3차원의 실제 수소원자에 비하여 바닥상태가 훨씬 더 낮은 값으로 설정된다. (이에 대한 자세한 해석은 '3차원 중심력장의 문제'를 참고하라)

5. 파동함수나 확률밀도함수는 모두 규격화가 아니라 최댓값을 일정하게 두었으며, 확률밀도함수는 상태에 따라 방향을 달리하여 잘 식별되도록 하였다. '파동함수 보기'를 선택하면 파동함수를 부각해서 나타낸다.

6. '고차 모드 보기'를 선택하면 바닥상태로부터 다섯째 들뜬상태까지를 계산하여 그 결과를 보여준다.

7. '두 원자간의 거리'는 왼쪽 슬라이더로 0 ~ 0.6 nm 로 조절하며, 계산시간이 약산 소요되어 컴퓨터 성능에 따라 행동이 굼뜨기도 한다.

8. 각 상태의 에너지 고윳값은 수평선으로 나타내었고, 확률밀도함수나 파동함수를 그것을 축으로 하여 수치와 함께 나타내었다.

9. "데이터복사" 버튼을 누르면 지금 현재 조건에서 계산된 파동함수를 클립보드에 복사한다. 이를 엑셀(Excel) 등 계산표 프로그램에 복사해서 여러 방법으로 데이터를 분석할 수 있다.

실험 방법

1. 화면이 처음 나타나는 조건에서 슬라이더를 좌우로 움직여서 에너지 고윳값이 두 퍼텐셜 우물이 떨어진 거리에 따라 어떻게 달라지는지 관찰해 보자. 특히 먼 거리에서는 거의 같았던 두 에너지 고윳값이 가까이 다가가면 분리되기 시작한다. 이때 두 확률밀도함수가 취하는 행동을 잘 관찰해 보자.

2. '파동함수 보기'를 선택하여 1의 과정을 되풀이 하자. 이때 각각의 파동함수가 서로 어떤 대칭성을 가지고 있는가? 대칭성은 에너지 값에 어떤 영향을 주는가?

3. 1의 과정에서 서로 떨어진 거리를 가로축으로, 에너지 고윳값을 세로축으로 하여 그래프를 그려보자. 만일 이러한 퍼텐셜 우물에 한 입자가 놀고 있을 때 각각의 거리에서 두 퍼텐셜이 서로에게 작용하게 되는 힘을 추정해 보자.

4. '고차 모드 보기'를 선택하여 전체적으로 4개의 준위에 대해 위와 비슷한 절차로 에너지 준위값, 확률밀도함수, 파동함수를 관찰해 보자.

6. '유사수소 퍼텐셜'의 경우에는 퍼텐셜의 중심에 각각 하나의 양성자가 위치하고 있는 것이다. 이 경우 두 양성자는 서로 반발력이 작용하여 전자의 공유에 의해 가까워지려는 경향과 비기는 위치에서 분자를 형성할 것으로 기대한다. 6개의 상태 중에서 어느 것이 그러한 가능성이 있을까? 그리고 이때 결합거리는 얼마가 될까? (앞에서 설명한 H₂⁺의 예를 참고할 수 있다. '핵 사이의 거리에 따른 H₂⁺의 에너지'의 그래프와 비슷한 그래프를 그려서 해석하자)

[질문1] 에너지가 낮은 두 상태의 파동함수를 살펴보면 두 원소의 중앙점을 기준으로 하면 각각 우함수와 기함수인 것을 알 수 있을 것이다. 특히 두 원소 사이의 거리가 멀면 고유에너지와 확률밀도함수도 거의 같은데 단지 대칭성만이 차이가 난다. 이를 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 성질로부터 검증해 보라.

[질문2] 실험 방법 6의 상황에서 바닥상태는 적절한 거리에서 결합이 이루어지게 된다. 이때 결합거리를 평형위치로 하여 진동을 할 수 있는 데 이의 고유진동수가 얼마인지 실험에서 측정한 데이터를 활용하여 구하라. (두 원자 사이의 거리에 따른 에너지 그래프는 최소점 부근에서는 2차 함수형을 하게 된다. 이를 분석하면 용수철 상수에 해당하는 값을 추정할 수 있을 것이다)