레이저의 원리

레이저의 원리

아인슈타인의 복사이론

열평형상태에서는 낮은 상태에 많은 원자들이 놀고 있다.

많은 원자가 모여 있는 기체, 고체, 액체 등의 물질은 그것을 구성하는 개개 원자의 일부분은 높은 에너지 상태(들뜬상태:여기상태)에 있지만 거의 대부분은 여전히 바닥상태에 안주하고 있다.

온도가 올라가면 들뜬상태의 원자가 점차 많아지기는 하지만 여전히 바닥상태로 있는 원자의 수는 많다. 극단적으로 무한대의 온도가 되어야 비로소 양자역학적으로 가능한 에너지 준위에 있을 확률이 동등해진다. 한편 음의 온도가 있을 수 있다면 역전이 가능하기는 하지만 열적인 평형상태에서는 음의 온도가 존재할 수 없다.

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원자들의 열적 평형상태_ 원자들은 여러 에너지 상태로 있을 수 있지만 그 분포는 온도에 의해 결정된다. 온도가 높아지면 높은 에너지 상태로 갈 가능성이 커지지만 기본적으로는 낮은 에너지 상태에 더 많은 원자가 있게 된다.

아래 그림은 어떤 온도 $T$ 에서 한 가지 종류의 많은 원자와 공간에 충만된 광자가 열적 평형상태를 유지하는 것을 보여주고 있다. 원자의 에너지 준위는 각각 $E_0, E_1, E_2, ...$ 등으로 주어져 있으며 이들 준위에 점유되어 있는 원자의 수는 볼츠만 인자(Boltzmann factor)인 $\exp(-E/kT)$ 에 비례한다.

한편 온도 $T$ 에서 공간에 충만된 진동수 $\nu\sim\nu+d\nu$ 사이의 광자의 단위부피당 에너지, 즉 분광에너지밀도 함수는 플랑크의 흑체복사이론에서 다음과 같이 주어진다.

u (ν) = \frac{8 π h ν^{3}}{c^{3}} \frac{1}{\exp (h ν / k T) - 1}

$u(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{\exp(h\nu/kT)-1}$ 유도흡수나 유도방출의 경우에는 빛의 자극에 의한 것이므로 이것에 따라 그 가능성이 비례하여 커진다.

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원자와 광자의 평형상태_ 어떤 온도 $T$ 에서 공간에 충만된 광자와 그 속의 원자가 서로 에너지를 주고 받으면서 열적 평형상태에 있다. 원자의 각 준위에 점유된 단위부피당 원자수 $N_0, N_1, N_2, ...$ 는 볼츠만 인자에 비례한다. 광자의 분광에너지밀도는 $u(\nu)$ 로 주어지며, 이는 흑체복사이론에서 플랑크의 복사법칙으로 도출된 것이다. 한편 원자는 자발방출(spontaneous emission)이나 유도방출(stimulated emission)에 의해 광자를 방출하고 유도흡수(stimulated absorption)에 의해 광자를 흡수한다. 유도방출이나 유도흡수의 경우 방출이나 흡수를 유발시키는 광자의 존재가 필요하고 이 확률은 $u(\nu)$ 에도 비례하게 된다. 반면에 자발방출의 경우에는 광자의 존재에 무관하게 주어져서 한 원자의 전이확률(transition probability)을 $A_{21}$ 이라 한다면 단위시간당 단위부피에서 전이하는 총 원자의 수는 $N_2A_{21}$ 이 되고 $\nu$ 의 광자는 그만큼 증가하게 된다. 그림에서는 각 과정에서의 전이원자수를 표시하였다. 열적평형상태에서 원자는 끊임없이 광자를 방출하거나 흡수하지만 전체의 분포는 볼츠만 인자에서 주어진대로 일정한 값으로 고정되어 있다.

위 그림에서 나타낸 것처럼 두 과정으로 광자를 방출하고 한 과정으로 광자를 흡수한다. 열적 평형상태에서 원자들로부터 방출되는 광자와 흡수되는 광자의 수는 일정하게 유지되어야 하므로

N_{2} A_{21} + N_{2} B_{21} u_{ν} = N_{1} B_{12} u_{ν}

$N_2A_{21}+N_2B_{21}u_\nu = N_1B_{12}u_\nu$ 이를

u_{ν}

$u_\nu$ 로 정리하면

u_{ν} = \frac{N_{2} A_{21}}{N_{1} B_{12} - N_{2} B_{21}} = \frac{A_{21}}{B_{21}} \frac{1}{\frac{B_{12}}{B_{21}} \exp (h ν / k T) - 1}

$u_\nu=\frac{N_2A_{21}}{N_1B_{12}-N_2B_{21}} = \frac{A_{21}}{B_{21}} \frac{1}{\frac{B_{12}}{B_{21}} \exp(h\nu/kT)-1}$ 이를 분광에너지밀도 함수와 비교하면 다음과 같은 관계식들을 얻을 수 있다.

\frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8 π h ν^{3}}{c^{3}}

$\frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}$

B_{12} = B_{21}

$B_{12}=B_{21}$ 따라서 열적평형상태에서의 유도흡수율과 유도방출율은 같고, 자발방출에 대한 유도방출의 비는,

\frac{N_{2} B_{21} u_{ν}}{N_{2} A_{21}} = \frac{1}{\exp (h ν / k T) - 1}

$\frac{N_2B_{21}u_\nu}{N_2 A_{21}} = \frac{1}{\exp(h\nu/kT)-1}$

가시광 영역에서 이 비율은 평형온도를 1000K라 한다면 10^-12미만으로 자발방출이 유도방출에 비하여 월등히 크다.

정상적인 상태에서는 거의 전부가 자발방출을 한다.

위 관계식으로부터 보통의 광원이 내는 빛에서 자발방출과 유도방출의 정도를 쉽게 열적인 평형조건에서 계산해 볼 수 있었다. 형광등이나 네온사인, 백열전등 등 보통의 모든 광원의 경우 유도방출의 빛의 비율은 전체의 $10^{-10}$ 보다 큰 값을 가져 대부분이 자발방출이어서 이들은 방출방향이나 위상이 제멋대로인 빛을 내게 된다.

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