다중 간섭

다층박막의 이론

빛의 파장 정도의 두께($l$)를 갖는 굴절률 $n_1$의 유전체가 굴절률 $n_0$와 $n_s$의 두 물질 사이에 놓여 있는 경우에 대해 생각하자. 여기서는 간단히 하기 위해 수직으로 입사하는 경우를 고려한다. (비스듬하게 입사하는 보다 일반적인 경우에도 거의 유사하게 전개할 수 있다)

여기서 입사하는 빛의 전기장은 $E_0$, 반사하는 빛의 전기장은 $E'_0$이다. 그리고 투과하는 전기장은 $E_s$, 박막 속에서 위에서 아래로와 그 반대 방향으로 흐르는 전기장은 각각 $E_1$, $E'_1$이라 하자. ($E_1$과 $E'_1$는 $n_0$와 $n_1$의 경계에서의 값이고, $E_s$는 $n_1$와 $n_s$의 경계에서의 값이다)

박막과의 두 경계면에서 전기장과 자기장(H-장)의 경계에 나란한 성분이 연속이어야 한다는 경계조건을 적용하면, \[ E_0 + E'_0 = E_1 + E'_1 \] \[ E_1 e^{ikl} + E'_1 e^{-ikl}= E_s \] \[ H_0 - H'_0 = H_1 - H'_1 \] \[ H_1 e^{ikl} - H'_1 e^{-ikl}= H_s \] 여기서 $e^{ikl}$인자는 빛이 거리 $l$ 만큼 진행 하여 얻게 되는 위상인자이다. 자기장 $H$에 대한 두 경계조건은 $H\propto nE$의 관계를 이용하여 전기장에 의한 것으로 다음과 같이 바꿀 수 있다. \[ n_0E_0 -n_0E'_0=n_1E_1-n_1E'_1 \] \[ n_1E_1 e^{ikl} -n_1E'_1 e^{-ikl}=n_sE_s \] 이들 4원 연립방정식으로부터 네 개의 미지량인 $E'_0$, $E_s$, $E_1$, $E'_1$을 구할 수 있다. 우선 특별한 의미가 없는 $E_1$, $E'_1$를 소거하여 2원 연립방정식으로 바꾸자. \[ 1+\frac{E'_0}{E_0}=(\cos kl - i \frac{n_s}{n_1}\sin kl ) \frac{E_s}{E_0} \] \[ n_0 - n_0 \frac{E'_0}{E_0}=(-in_1 \sin kl + n_s \cos kl) \frac{E_s}{E_0} \] 여기서 반사계수 \[ r = \frac{E'_0}{E_0} \] 와 투과계수 \[ t = \frac{E_s}{E_0} \] 를 도입하여 앞의 연립방정식을 행렬 형태로 다시 쓰면, \[ \left[\array{ 1 \\ n_0 } \right] + \left[\array{ 1 \\ -n_0 } \right] r = \left[\array{ \cos kl & -\frac{i}{n_1} \sin kl \\ -in_1 \sin kl & \cos kl } \right] \left[\array{ 1 \\ n_s } \right] t \] 이 식의 좌변은 $n_0$의 물질에서의 것이고, 우변의 행렬 부분은 박막에 대응되고, 우변의 나머지 부분은 $n_s$인 물질에 대응되어 물질이 배치된 순서와 일치되어 있다. 박막에 대응되는 행렬 \[ M= \left[\array{ \cos kl & -\frac{i}{n_1} \sin kl \\ -in_1 \sin kl & \cos kl } \right] \] 을 전달행렬(transfer matrix)라 한다.

보통 $n_s$의 물질은 유리 기판이고 기판 위에 $n_1$인 한 층의 박막이 입혀져 있는 상황이 된다. 따라서 이 경우라면 $n_0$은 공기층의 굴절률이 된다.

한편 유리 기판 위에 각각의 굴절률이 $n_1$, $n_2$, $n_3$, $\cdots$이고 각각 두께가 $l_1$, $l_2$, $l_3$, $\cdots$인 $N$ 층의 박막이 공기층으로부터 순차적으로 입혀져 있다고 하자. 이 다층의 박막 전체에 대해 비슷한 행렬방정식을 유도하면 다음과 같이 된다. \[ \left[\array{ 1 \\ n_0 } \right] + \left[\array{ 1 \\ -n_0 } \right] r = M_1 M_2 M_3 \cdots M_N \left[\array{ 1 \\ n_s } \right] t \] 여기서 각 층의 전달행렬을 $M_1$, $M_2$, $M_3$, $\cdots$, $M_N$으로 표시했다. 이들 행렬의 전체 곱의 요소를 다음과 같이 $A$, $B$, $C$, $D$라 하자. 즉, \[ M = M_1 M_2 M_3 \cdots M_N = \left[\array{ A & B \\ C & D } \right] \]

행렬 $M$의 $A$, $B$, $C$, $D$ 네 요소를 써서 반사계수와 투과계수를 구하면 다음이 된다. \[ r = \frac{An_0 + Bn_sn_0-C-Dn_s}{An_0 + Bn_sn_0+C+Dn_s} \] \[ t = \frac{2n_0}{An_0 + Bn_sn_0+C+Dn_s} \]

한편 입사하는 빛의 밝기에 대해 박막의 표면에서 반사하는 빛의 밝기의 비를 반사율이라 하고 기판 속으로 투과하는 빛의 밝기의 비를 투과율이라 한다. 반사율과 투과율은 각각 다음과 같이 계산된다. \[ R = |r|^2 \] \[ T = \frac{n_s}{n_0}|t|^2 \] 여기서는 막이 투명한 유전체로서 빛을 흡수하지 않는 것으로 하였기 때문에 언제나 $1=R+T$가 성립한다.

다층박막에 대한 정량적인 이론을 세웠기 때문에 이제 특수한 용도를 가진 막을 설계할 수 있게 되었다. 빛의 반사를 억제하여 빛을 대부분 통과시키는 반사방지 박막이나 대부분의 가시광선을 반사하여 이상적인 거울로서 작용하는 고반사 박막 등 몇 가지 유용한 경우를 알아본다. (여기서는 빛이 수직 입사하는 경우에 대해서 다루었으나 빛이 약간 비스듬하게 입사하는 경우라도 그 결과가 크게 차이나지 않는다)

_ 가시광선_ 전달행렬_ 투과계수_ 반사계수_ 경계조건_ 전기장_ 굴절률_ 자기장_ 위상_ 거울