물질의 상태변화

아래 그림은 판데르발스 기체의 행동을 흉내내는 프로그램이다. 입자의 색을 달리하여 나타내었지만 동일한 특성을 갖는 50개의 입자가 용기 속에 들어 있고, 이 용기는 열저장체(heat reservoir)에 붙어있어 용기 내부로 에너지를 주고받으면서 일정한 온도를 유지하게 한다.

여기서 입자들은 서로 판데르발스 힘에 의한 인력과 겹쳐짐에 의한 척력이 작용하여 다음과 같은 르나드-존스 퍼텐셜(Lennard-Jones potential)를 하고 있어 $U_0$와 $r_0$의 값을 변경시켜서 다양한 상호작용의 결과를 관찰하게 한다. \[ U(r) = U_0 \left[ \left( \frac{r_0}{r} \right)^{12} - 2 \left( \frac{r_0}{r} \right)^6 \right] \]

한편 아래위로 움직이는 피스톤에는 추가 올려져 있고 이들은 보통의 중력에 의해 아래 방향으로 힘을 받는다. 그러나 용기 속 입자는 질량이 1kg로 중력은 받지 않는다. 그뿐만 아니라 용기의 폭과 높이는 픽셀당 1cm로 실제의 분자의 규모보다 훨씬 커서 전체적으로 거시적인 규모라고 할 수 있다 그러나 입자의 질량과 용기의 크기, 퍼텐셜의 범위 등의 축척을 그대로 줄여서 미시적인 분자의 행동으로 이해할 수 있다.

주어진 퍼텐셜의 형태에서 온도와 추의 질량을 다양하게 변화시켜서 온도와 피스톤의 위치가 거의 일정해지는 평형상태에 이르게 되었을 때의 데이터로부터 $P$와 $V$, $T$의 관계를 알아보고 또한 낮은 온도에서 액체나 고체에 가까운 형태가 되는 것을 잘 관찰해 보자.

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Java?

실제 기체와 상태변화 모의실험_ 서로 판데르발스 힘을 받는 50개의 동일한 입자가 용기 속에 들어 있다. 용기는 주어진 온도의 열저장체에 접촉하고 있어 에너지를 주고 받으면서 일정한 온도를 유지하게 된다. 화면의 오른쪽 아래의 'temperature' 슬라이더를 움직여서 온도를 10 ~ 250 사이로 변경하면 열저장체의 온도가 주어진 값으로 변경되어 점차 설정한 온도에 이르게 된다. 아래의 'weight mass' 슬라이더를 움직이면 피스톤의 질량을 400kg까지 변경할 수 있다. 용기내의 입자는 중력을 무시하였지만 피스톤은 9.8 m/s²의 중력가속도에 의한 힘을 아래방향으로 받아서 이로부터 용기내의 압력을 주게 된다. 한편 입자끼리 작용하는 판데르발스 힘의 형태를 오른쪽의 '$U_0$'와 '$r_0$'의 두 슬라이더를 통해서 변경할 수 있고 이들을 변경하면 입자는 재배치된다. (재배치 과정에서 약간의 시간이 소요되므로 한 단계씩 변화시키는 것이 좋다)

물질의 상태변화 모의실험

1. 퍼텐셜의 형태는 처음에 주어진 설정치로 하고 피스톤의 추의 질량을 0으로 하면 피스톤이 제거된다. 이러한 조건에서 온도 값을 서서히 낮추어 가면서 입자들의 움직임을 관찰해 보자.

2. 온도를 60 정도로 하여 오랜 시간 동안 기다리면 많은 입자가 하나의 집단을 이루면서 일부 입자는 이 집단을 들락거리는 상태가 될 것이다. 집단 내부에서도 각 입자는 서로 자리를 맞바꾸면서 적절한 거리를 유지하여 액체와 비슷한 상태가 된다.

3. 큰 집단이 액체처럼 움직이는 조건에서 온도를 주변 값으로 변경시켜 보자. 이때 액체를 벗어나서 자유롭게 움직이는 일부의 입자가 있을 것인 데 이것은 증발과 유사한 현상이다. 증발이 일어나는 상황이 어떻게 온도와 관련되어 있는지를 잘 살펴보자.

온도를 20 이하로 낮추면 앞에서의 액체와는 비슷하게 집단을 이루게 되지만 오른편 그림과 같이 입자들의 상대적인 위치가 변화되지 않는 상태가 될 것이다. 이것은 고체 상태로 볼 수 있다. 액체에서 고체로 넘어가는 온도값을 결정해 보자.

5. $U_0$, $r_0$를 변경하여 퍼텐셜을 바꾸어 가며 앞에서와 같이 액체, 고체의 상태를 관찰해 보자. 액화나 응고가 일어나는 온도와 퍼텐셜의 깊이 $U_0$와는 어떻게 관련되어 있는가? $U_0$를 0 으로 두면 딱딱한 구형의 이상기체와 같이 되는 데 이 경우에는 액화나 응고가 일어나는가?

6. 피스톤의 질량을 주어 압축시키면서 액화나 응고가 일어나는 온도를 관찰해보자. 압력과 어떻게 관련되어 있는가?

물질의 상태방정식 측정실험

1. 퍼텐셜의 형태는 처음에 주어진 설정치로 하고 특정한 온도에서 추의 질량을 변화시켜서 피스톤의 상하 움직임이 거의 멎는 열적 평형상태에 이르렀을 때 높이 $h$를 측정하자.

2. 이때 추의 질량으로부터 피스톤이 받는 압력 (여기서는 2차원이므로 단위 길이당 힘) $P$를 계산하고, 또한 $h$ 값으로부터 용기의 체적 (여기서는 면적) $V$를 계산해서 추의 질량을 달리한 여러 데이터를 P-V 그래프에 그려보자. 이는 설정한 온도에 대한 등온선 그래프가 될 것이다.

3. 온도를 여러 가지 달리하여 각 온도에 대한 등온선을 한 도표위에 나타내어서 이 물질에 대한 P-V 도표를 완성해 보자.

4. $U_0$, $r_0$를 변경하여 퍼텐셜의 형태를 몇 가지 바꾸어 1 ~ 3의 실험을 다시 해보자. 이때 $U_0$, $r_0$의 값들이 물질의 행태에 어떤 영향을 미치는가?

5. P-V 도표가 판데르발스 기체의 경우와 유사하게 나오는가? 이때 임계온도를 정할 수 있겠는가? 결과를 종합적으로 검토해 보자.

모의실험의 프로그래밍과 제한

1. 이상기체와는 달리 이 기체 모형의 온도 값을 단순한 형태로 정의하기는 어렵다. 2차원의 이상기체의 경우에서는 입자의 평균에너지가 $kT$이고 또한 오직 운동에너지만 있기 때문에 계의 온도 값을 쉽게 정의할 수 있다. 그러나 여기서는 입자까리의 퍼텐셜에너지가 복잡한 형태로 주어져 있어 입자의 평균에너지와 온도가 비례하지 않아 화면에 표시된 온도 값은 실제의 온도와 선형이 아니다. 여기서의 온도 값은 전체입자가 $r_0$의 거리의 정삼각형의 정점에 배치하여 최소 에너지 상태로 결합된 에너지가 가장 낮은 상태, 즉 바닥상태의 에너지에 비하여 초과된 에너지의 입자당 평균값을 J를 단위로 하여 나타낸 것이다.

2. 한편 화면에 표시한 입자의 크기는 퍼텐셜이 0이 되는 위치로서 두 입자끼리의 퍼텐셜 이 최소가 되는 $r_0$의 약 0.445배의 거리를 반경으로 한 것이다. 두 입자가 직경보다 더 접근하면 반발력이 매우 커지므로 딱딱한 구(hard sphere)로 생각할 수 있어 이를 나타낸 것이다. 따라서 $r_0$를 변경시키면 구의 크기가 달라져서 나타나 보인다. 그리고 벽면과는 이 반경의 딱딱한 구로서 겹쳐진 거리에 비례하는 탄성충돌을 하는 것으로 가정하였다.

3. $U_0$를 0으로 하면 완전한 자유입자가 되는 것이 아니라 이상기체에서와 같이 서로 별도의 상호작용을 하지 않는 딱딱한 구가 되도록 하였다. 따라서 이 프로그램으로부터 이상기체의 경우에 대한 모의실험을 수행할 수도 있다. 이 경우에는 온도 값이 바로 $kT$가 된다.