에너지 등분배법칙

에너지 등분배법칙

에너지 등분배법칙(energy equipartition law)은 앞에서 처럼 입자끼리의 충돌에 의해 에너지를 교환하는 경우에 각 입자의 시간에 대한 평균에너지가 거의 같은 값으로 균등하게 나누어진다는 것을 말한다. 따라서 입자의 질량이 클 수록 속력의 제곱값은 이에 반비례하여 작아진다는 것을 알 수 있다. 앞의 모의실험에서 운동의 양상만 관찰하여 입자의 질량의 비를 정확하게 알 수 있을 것이다.

질량이 각각 $m_1$, $m_2$인 두 입자가 상자 속에 들어 있으면서 계속된 충돌로 에너지를 서로 교환하는 상황을 생각해 보자. 각각의 속도는 $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$는 입자끼리의 충돌이나 벽면의 충돌을 통하여 끊임없이 변할 것이다. 두 입자의 상대속도 $\vec{v}_{rel}=(\vec{v}_1-\vec{v}_2)$는 이를 관찰하는 좌표계에 관계없이 일정한 값으로 측정된다. 한편 두 입자의 질량중심도 계속해서 움직이게 되는 데 이의 이동방향은 두 입자의 운동량의 합 $\vec{p}_1+\vec{p}_2$와 같다. 이 방향은 $\vec{v}_{rel}$과 무관하다. 따라서 오랜 시간에 대한 이들의 스칼라곱의 평균값은 다음과 같이 0 이 된다. \[ \overline{(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\cdot \vec{v}_{rel}} = 0 \] \[ \overline{(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) } = 0 \] 이 식의 전개한 항 중에서 $\vec{p}_1 \cdot \vec{v}_2$ 등의 시간평균값은 한 $\vec{p}_1$에 대하여 $\vec{v}_2$이 제멋대로의 값을 가질 수 있기 때문에 0 이 된다. 따라서 \[ \overline{\vec{p}_1 \cdot \vec{v}_1 } = \overline{\vec{p}_2 \cdot \vec{v}_2 } \] \[ m_1 \overline{v_1^2} = m_2 \overline{v_2^2} \] 즉 기체를 구성하는 입자들의 질량이나 다른 물리적인 성질에 관계없이 여러 종류의 입자들은 같은 운동에너지를 가지는 것을 확인할 수 있다.

자유도당 $\frac12 kT$의 에너지를 가진다.

앞 모의실험에서 기체를 구성하는 계의 입자들은 탄성충돌을 하는 구형으로 가정하였으나 구의 회전이 유발되지 않는 것으로 프로그램하여 역학적 에너지는 오직 병진운동에너지의 형태로만 있었다. 이러한 상황에서 기체의 구성 분자의 평균에너지는 \[ \overline{K}= \frac{3}{2}kT \] 임을 기체의 분자운동 해석과 온도의 정의로부터 알 수 있었다. 여기서 각 입자의 운동에너지의 평균값이 $\frac{1}{2}mv_x^2$, $\frac{1}{2}mv_y^2$, $\frac{1}{2}mv_z^2$의 합이고 이들 세 값은 모두 같다는 것을 생각한다면 입자가 뛰노는 공간의 자유도와 관련있다는 것을 눈치 챌 수 있을 것이다. 만일에 입자가 뛰노는 공간이 이 교재의 여러 모의실험처럼 2차원 평면상에 국한되어 있다면 $\overline{K}=\frac{\mathbf{2}}{2}kT$로 된다. 즉 입자의 자유도 하나에 대하여 $\frac{1}{2}kT$의 평균에너지를 갖는 것을 알 수 있고 실제로 이것이 에너지 등분배법칙의 본질이다.

두 축으로의 회전이 가능한 경우 2 의 자유도가 추가된다

따라서 만일에 입자가 내부구조를 하고 있어 회전이나 진동이 일어날 수 있다면 이러한 자유도가 입자의 평균에너지에 가세될 것이다. 예를 들어 산소 분자나 수소 분자처럼 두 개의 원자가 아령처럼 결합되어 있는 이원자분자(diatomic molecule)의 경우 두 원자를 이어준 결합축에 수직한 두 회전축을 중심으로한 회전이 가능하여 자유도가 2개 보태져서 전체자 유도는 5가 된다. 따라서 이러한 이원자분자의 경우 에너지는 \[ \overline{K}= \frac{5}{2}kT \]

세 축으로의 회전이 가능한 경우 3 의 자유도가 추가된다

암모니아나 메탄은 분자가 4면체의 꼭짓점에 원자가 배치된 모양을 하고 있다. 이렇게 입체적인 구조를 가진 분자는 다음 그림에서 볼 수 있는 것처럼 세 축으로의 회전이 가능하므로 질량중심의 병진운동과 함께 6의 자유도를 가질 것이다. 따라서 이러한 분자의 평균에너지는 다음과 같을 것이다. \[ \overline{K}= \frac{6}{2}kT = 3kT \]

앞의 모의실험에서 질량을 달리하는 입자들이 같은 평균운동에너지를 갖게 되는 이유는 각각의 입자들의 자유도가 질량에 관계없이 동일하여 등분배법칙에 의해 같은 평균에너지를 갖기 때문이다. 만일에 계 속에 들어있는 입자의 일부가 회전운동을 할 수 있게 되어 있다면 이들은 추가적인 회전운동이 가능하기 때문에 운동에너지를 더 갖게 될 것이다.

에너지가 월등히 높아지면 진동 등의 자유도가 추가될 수 있다.

한편, 실제 분자의 원자끼리는 마치 용수철에 의해 연결된 것처럼 진동이 가능하고, 또한 이원자분자라 하더라도 두 원자의 연결선을 축으로 하는 회전이 있을 수도 있다. 그러나 이들과 관련된 양자론적인 에너지준위는 보통의 온도가 가진 열적인 에너지보다 훨씬 넓은 간격으로 되어 있기 때문에 온도가 극단적으로 높지 않다면 평균에너지에 기여하지 않는다. 또한 낮은 온도에서는 회전운동도 끼어들지 않을 수도 있다. 따라서 보다 정교한 해석은 양자론을 따라야 한다. 이에 대한 자세한 내용을 '분자 에너지준위' 단원에서 다룬다.

_ 기체의 분자운동_ 분자 에너지준위_ 탄성충돌_ 질량중심_ 운동량_ 진동_ 온도_ 양자