에너지띠 이론

원형 고리의 양자상태

1차원 공간의 양쪽 끝이 연결되어 있다.

입자가 뛰노는 공간의 두 가장자리가 서로 연결되어 있으면 어떤 상태로 있을 수 있을까? 이것은 다분히 가상적인 상황이지만 원형 고리에 꿰어져 있거나 관 속에서의 노는 입자의 상태에 대한 실제적인 상황으로도 생각할 수 있다. 더구나 이 문제는 뒤에서 다루게 될 무한히 넓은 공간에서의 입자의 행동과 관련되어 있어서 물리적으로 흥미있는 주제이기도 하다.

우선 퍼텐셜이 없는 상황을 생각하자. 이 경우 고전적인 입자라면 고리에서 처음에 주어진 속도로 등속운동을 할 것이다. 이에 대한 양자역학적인 모형을 세우는 것도 어렵지 않다. 입자의 정상상태는 \[ \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \] 의 정현파 형태가 된다. 여기서 \[ k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \] 으로 고유에너지 $E$와 관련된다. 아무런 조건이 더 주어지지 않는 자유입자와 달리 이 경우는 길이를 $L$인 고리에 갇혀 있기 때문에 $x=L$과 $x=0$의 파동함수가 연결되어야 한다. 따라서 연결되는 지점에서의 파동함수가 연속과 미분연속이 되어야 하므로 \[ A + B = A e^{ikL} + B e^{-ikL} \] \[ A - B = A e^{ikL} - B e^{-ikL} \] 이 되어야 한다. $A$와 $B$가 모두 0 이 되지 않으려면 이들의 계수로 이루어진 행렬식이 0 이 되어야 한다. 즉, \[ \begin{vmatrix} 1-e^{ikL} & 1-e^{-ikL} \\ 1-e^{ikL} & -1+e^{-ikL} \end{vmatrix} = 0 \] 이어야 한다. 이 식을 정리하면 \[ \cos kL = 1 \] 로 해가 되기 위한 $k$의 조건은 다음과 같다. \[ k_l = \frac{2l\pi}{L} \] 여기서 $l$은 정수이다. 이 조건으로 $A$나 $B$의 연립방정식을 다시 구성하면 이들에 대한 계수가 모두 0 이 되어 아무 $A$나 $B$가 다 해가 되는 것을 알 수 있다. 즉, \[ \psi_l (x) = A e^{ik_l x} + B e^{-ik_l x} \] 이다. 함수를 구성하는 $\{e^{ik_l x}, e^{-ik_l x}\}$는 서로 직교하는 특수해가 되므로 위 식은 일반해의 전형적인 표현이 된다. 이러한 조합은 $\{\cos{k_l x}, \sin{k_l x}\}$으로 바꾸어 나타낼 수도 있을 것이다. 이와 같이 경계조건을 이용해서 고유상태를 구했지만 $x$ 좌표값이 고리 위를 회전해서 계속된다고 했을 때 $\psi(x)$가 주기 $L$의 주기함수라는 조건 $\psi(x+L)=\psi(x)$으로 더 쉽게 구할 수도 있다.

$l=0$일 때에는 $k=0$으로 에너지가 0 으로 파동함수가 전 영역에서 상수인 특이한 해가 있을 수 있다. 그리고 $l$이 음수이면 앞뒤가 바뀌고, 또한 양수의 경우와 에너지가 같은 겹침상태이다. 이 겹침상태는 운동량 $\hbar k$에 따라 서로 분간된다. 파수 $k$에 대한 고유상태에 파동함수를 다음 그림으로 보여준다.

[질문1] 둘레의 길이가 5 nm인 고리에 전자가 갇혀 있다. 이의 $p=\hbar k$ 값을 가로축으로 하고, 이에 해당하는 $E$를 세로축으로 한 그래프 위에 가능한 상태들을 점으로 표시해 보라. 이 상태들은 고리의 둘레 길이 $L$에 따라 어떻게 달라지는가?

[질문2] 같은 길이의 1차원 상자와 같은 둘레 길이의 고리에 있는 입자의 두 양자상태를 비교해 보라. 또 적절한 길이의 조건에서 두 경우가 동일한 고유상태를 가질 수가 있을까? 그렇다면 둘의 (둘레) 길이의 조건이 어떠해야 할까?

[질문3] 고리가 원형으로 되어 있다고 했을 때 입자는 회전체로 생각할 수 있다. 이 경우 회전체의 각운동량은 어떻게 양자화 되어 있는가?

[질문4] 고리의 양자상태를 파동함수가 주기함수라는 조건 $\psi(x+L)=\psi(x)$으로 풀이하라.

_ 양자역학_ 파동함수_ 정상상태_ 경계조건_ 운동량_ 양자화_ 고윳값_ 주기_ 파수