확대경과 현미경

확대경

확대경은 물체를 눈 바로 앞에서 두고 볼 수 있게 한다.

눈에 보이는 물체의 크기는 그 물체의 상이 망막에 맺혀지는 크기에 비례한다. 따라서 아주 멀리 있는 달도 가까이 있는 동전의 크기보다 작게 보일 수 있다. 눈으로부터 물체의 양 끝이 이루는 각(이를 시각차라 하자)이 망막에 맺혀지는 상의 크기, 즉 물체의 겉보기 크기를 결정하는 것이다. 우리는 물체를 잘 관찰하기 위해서 물체를 최대한 눈앞에 당겨서 보게 된다. 그러나 눈의 적응한계 때문에 이 거리는 정상적인 눈의 경우 250mm로 제한된다. 따라서 정상적인 눈이 길이 $y_0$ (mm)인 물체를 가장 가까이서 볼 수 있는 물체의 시각차는 다음과 같다. (광학기구를 구성하는 렌즈나 거울의 초점거리 등은 보통 mm의 단위를 사용한다)

위 그림은 물체가 지금 있는 그곳에서 보이는 크기에 비하여 상이 3배로 더 크게 보이는 상황이다. 따라서 어느 경우나 다 확대경으로서 기능을 하고 있다고 하고 싶을 것이다. 그러나 앞에서 설명한 것처럼 물체를 눈의 명시거리에 두었을 때의 시각차에 비하여 상의 시각차가 어떻게 보이는가로 확대의 능력을 말해야 하므로 상황은 좀더 복잡해진다.

따라서 허상과 실상을 나누어서 생각해 보는 것이 개념을 파악하기에 편리하다. 실제로 상이 바로 서 있는 경우가 관찰내용을 받아들이기가 쉽고, 또한 상이 보이는 범위가 훨씬 넓어서 보통의 확대경은 허상으로 관찰하게 된다.

_ 눈의 적응_ 볼록렌즈_ 초점거리_ 명시거리_ 보일_ 허상_ 실상_ 거울

확대경과 각배율

허상으로 확대하여 보는 경우가 능률적이다.

물체를 우리 눈앞으로 250mm보다 더 가까이 가져오게 되면 물체의 시각차는 커지지만 이제 눈이 상을 맺을 수 없기 때문에 물체는 흐릿해져서 잘 볼 수 없게 된다. 이때 물체와 눈 사이에 볼록렌즈를 놓으면 물체의 허상을 250mm이상으로 보낼 수 있어서 비로소 뚜렷한 상을 보게 된다.

허상이라도 눈의 입장에서는 실제로 물체가 그곳에 있는 것과 마찬가지므로 이를 크게 보기 위해서는 최대한 허상과 가까이 눈을 가져가야 한다. 따라서 눈과 렌즈는 밀착시키는 것이 가장 능률적이다. 이때는 아래 그림에서 볼 수 있는 것처럼 물체의 시각차나 허상의 시각차는 같은 값을 유지한다. 즉, 물체를 250mm보다 더 당겨서 볼 수 있는 만큼 크게 보는 것이다.

이렇게 물체의 시각차를 확대하는 비율을 각배율(angular magnification), 혹은 확대능(magnifying power; MP)이라 한다. 이 값은 렌즈의 물체의 길이와 상의 길이의 비인 가로배율과는 개념상 차이가 있다. 렌즈를 조합한 광학기구의 경우 우리가 맨눈으로 가장 잘 관측할 수 있는 상황으로 만들었을 때와 비교하여 그 능력을 말하는 것이 편리하고 이 경우 그저 배율이라 하면 각배율을 말하게 된다.

물체는 볼록렌즈의 초점거리 안에 있을 때에 더 멀리 떨어진 곳에 허상을 만든다. 볼록렌즈 바로 오른쪽에 있는 눈은 물체의 시각차($\delta$)와 같은 시각차의 허상을 보게 된다. 물체를 렌즈 앞 $s_o$ 거리에 두었을 때 물체와 상의 시각차는 $y_o/s_o$이 되고, 따라서 확대경의 각배율은 다음과 같다. \[ \mathrm{MP} = \frac{y_o/s_o}{y_o/250} = \frac{250}{s_o} \] 여기서 $s_o$ 등 거리의 단위는 mm로 하자. $s_o$를 최대한 줄이는 것이 각배율을 크게 하는 것임을 알 수 있다. 그러나 $s_o$를 줄이게 되면 상도 점차 눈과 가까운 거리로 다가오게 되어 눈으로 명확하게 볼 수 있는 한계인 250mm까지 접근시키는 것이 가장 각배율을 크게 하는 상황이 된다. 앞의 그림은 이 상황을 도해한 것이다.

초점거리가 $f$인 볼록렌즈에서 상을 250mm에 맺게 위한 물체의 거리 $s_o$의 관계는 \[ \frac{1}{s_o} + \frac{1}{-250} = \frac{1}{f} \] 이므로 이로부터 각배율을 다시 정리하면, \[ \begin{equation} \label{eq1} \mathrm{MP} = 1 + \frac{250}{f} = 1 + 0.25{\scr D} \end{equation} \] 이 된다. 이들 식에서 $f$는 mm 단위로의 값이고, ${\scr D}$는 렌즈의 굴절능이다.

한편 눈에 확대경을 거의 붙인 상태에서 허상의 위치를 무한대로 되게 하는 경우를 고려해보자. 이렇게 하면 눈이 이완된 상태에서 상을 관찰을 할 수 있게 되어 눈이 피곤해지지 않는다. 허상을 무한대로 보내기 위해서는 볼록렌즈의 초점에 물체를 두어야 할 것이다. 따라서 $s_o=f$가 되어 \[ \begin{equation} \label{eq2} \mathrm{MP} = \frac{250}{f} = 0.25{\scr D} \end{equation} \] 이 되어 상을 250mm에 두는 경우보다 각배율은 1이 적다. 실제로 상을 눈으로부터 250mm로부터 무한대까지 둘 수 있지만 250mm인 경우가 정립상으로서는 가장 크게 볼 수 있는 상황이 된다.

렌즈로부터 거리 $d$되는 오른쪽에 눈을 두고, 이 눈과 상까지의 거리를 $L$이라 한다면 다음의 각배율에 대한 보다 일반적인 관계가 성립한다. \[ \begin{equation} \label{eq3} \mathrm{MP} = \frac{250}{L}\left( 1 + \frac{L-d}{f} \right) = \frac{250}{L}\left( 1 - \frac{d}{f} \right) + \frac{250}{f} \end{equation} \] 여기서 각배율 $\mathrm{MP}$가 가장 큰 경우가 바로 $L$로서는 가장 적은 값, $L=250$이고 또한 $d$로서도 가장 적은 값, 즉 $d=0$이라는 것을 확인할 수 있다.

실상으로도 확대는 된다.

볼록렌즈의 실상이 생기는 상황은 렌즈의 물체초점 왼쪽에 물체를 놓았을 때이고, 이 경우는 렌즈의 상초점보다 오른쪽에 상이 생긴다. 만일 $2f \sim f$에 물체를 두게 되면 횡배율의 크기가 1보다 커서 실상은 도립되어 있긴 해도 상은 물체보다 더 커지게 된다. 눈을 이 실상보다 오른쪽으로 250mm 되는 곳에 두게 되면 이 경우의 각배율은 1보다 커질 것이다.

배율을 크게 하려면 물체를 물체초점으로 점점 다가가게 하면 될 것이다. 그러나 이때 상은 점점 더 렌즈로부터 오른쪽 멀리 형성되어 눈도 렌즈로부터 멀리 떨어지게 두어야 하며, 렌즈의 범위에 국한된 상의 시야도 줄어들게 된다. 따라서 이렇게 확대경을 사용하는 것은 여러모로 비능률적이다. 그러나 현미경에서는 대물렌즈를 이 원리로 하고, 통상의 확대경을 대안렌즈로 하여 훨씬 뛰어난 각배율을 실현하게 된다.

[질문1] ${\scr D}$ = 20D의 굴절능을 가진 볼록렌즈를 눈에 밀착시켜서 확대경으로 쓴다고 하자. 이의 $L=\infty$에서의 각배율은 얼마인가? 상을 명시거리에 둘 때의 각배율은 얼마인가?

[질문2] 렌즈를 눈에서 $d$만큼 멀리 둔 경우의 각배율 관계를 구하려고 한다. 이 상황을 앞의 '확대경의 원리'와 비슷하게 도해하고, 이로부터 \eqref{eq3} 식을 유도하라.

[질문3] 주어진 초점거리의 확대경으로 최대로 각배율을 실현하려면 눈과 상을 어디에 두어야 할까? 이때의 각배율은 얼마인가?

[질문4] 질문3과 같은 조건에서 각배율을 100 인 렌즈를 만든다고 하자. 이의 초점거리는 얼마로 해야할까? $n=1.5$의 유리로 곡률이 같은 양쪽 볼록렌즈로 이를 제작한다고 하자. 이 렌즈는 어떤 곡률반경을 가지는가? 이 렌즈를 실제로 활용하기 어려운 점이 무엇인지 설명하라.

_ 볼록렌즈_ 가로배율_ 물체초점_ 초점거리_ 명시거리_ 굴절능_ 상초점_ 보일_ 허상_ 실상