상대성이론의 역설


쌍둥이 역설의 사고실험

서로의 나이를 센다.

앞서 쌍둥이 A가 지구에 남고, B가 다른 별로 우주여행을 떠나서 돌아오는 상황을 생각하자. 이 경우 지상에 남아있는 A의 입장에 B의 시계가 느리게 가고 따라서 B의 나이가 자신보다 더 젊다는 것은 받아들이는 데 큰 무리는 없다. 그러나 우주선을 타고 있는 B의 입장에서 A를 생각한다면 A가 떠나서 다시 돌아오는 것이니 A가 더 젊어 있어야 한다고 생각할 수 있는 것이 바로 상대성 원리가 아닌가? 이것이 바로 쌍둥이 역설의 본질이다.

우주선을 타고 있는 B는, 지구가 자기로부터 상대적으로 멀어질 때, 운동하는 지구의 시계가 자기의 시계보다 느리게 갈 것으로 생각한다. B가 되돌아 오는 과정에서도 지구는 상대적으로 가까워지는 운동을 하므로 역시 지구의 시계가 느리게 갈 것으로 생각한다. 따라서 B는 우주여행을 끝내고 둘이 만났을 때 자기보다 훨씬 젊은 A를 볼 것을 기대한다.

이 과정을 진지하게 살펴보기 위해 각각이 펄스를 상대에게 보내서 서로 나이를 어떻게 먹고 있는지, 즉 시간진행이 어떻게 되는지를 알려준다고 하자. 즉 A와 B는 각각 1년(혹은 1초)에 하나의 펄스 상대에게 보내는 상황을 가정한다. 그리고 B에게 지구에서 시간의 흐름이 더디게 보는지, 아니면 빠르게 보는지를 사고실험으로 알아본다.

B 입장에서 A의 시계가 느리게 간다면 어떻게 B는 그 자신의 빠른 시계에서 나오는 펄스의 수보다 많은 시계를 느린 시계에서 받을 수 있을 것인가? (우주여행이 끝났을 때 B의 시간이 A보다 더디게 흘렀다는 상대론의 결과가 맞고 B가 A의 시간의 흐름을 나름대로 생각해본 견해가 맞다면...)

다음 프로그램은 이러한 과정을 그림으로 보여준다. 그래프는 지구 입장에서의 시공간 좌표계이다. 여기서 왼편의 푸른색 직선은 지구의 세계선이고, 녹색으로 표시한 녹색의 꺾어진 직선은 우주선의 세계선이다. (시공간 좌표계나 세계선은 '로렌츠 변환' 단원을 참고하라)

exp

쌍둥이 역설에 대한 시공간 좌표_ 지구상의 계에서의 시공간 좌표쌍둥이 역설을 나타내었다. 의 수직선은 지구의 세계선으로 공간의 원점에 머물러 있고, 꺾인 선은 우주선의 세계선으로 20광년 떨어진 별 도착한 후 지구로 되돌아오는 것을 보여준다. 한편 지구나 우주선은 자신의 시계로 1년에 하나의 펄스를 상대에게 보내는 데 이를 로 나타내었다. 각각의 펄스는 빛의 세계선을 따라서 상대에게 전달되어 1년의 경과를 알려주게 된다. 자신의 1년의 경과와 더불어 상대가 관측하는 1년의 경과를 자 모양의 사각형에 눈금으로 표시한다. 의 눈금은 지구의 시간경과를, 의 눈금은 우주선의 시간경과를 나타낸다.

프로그램 설명

1. 보여지는 그림은 지구좌표계에서 관찰한 것이다.

2. '동작보기' 버튼을 누르면 시간이 흐르고 우주선은 설정된 속도 $v$로 20광년 떨어진 다른 별을 왕복하게 된다. 이 버튼을 다시 누르면 운동을 일시정지한다.

3. 왼편 아래의 슬라이더로 우주선의 속도를 0.5c ~ 0.99c의 범위에서 조잘할 수 있다.

4. 왕복운동의 과정에서 지구나 우주선 모두 자신의 시간으로 1년 마다 펄스를 발생시켜 상대에게 보내고 있으며 이는 빛이 이동하는 시간이 지난 후에 상대측에 도달한다. 이때 각각의 펄스는 멀어질 때에는 간격이 늘어나고, 다가갈 때에는 간격이 줄어드는 데 이것이 도플러 효과이다.

5. 왕복운동을 마치는 데 지구의 시계로는 $\frac{40}{v}$년의 시간이 흐르고, 우주선의 경우에는 시간팽창으로 $\frac{40}{\gamma v}$년의 시간이 흐른다. 지구와 별 사이의 거리가 우주선 입장에서는 수축되어 $\frac{40}{\gamma}$광년으로 된 것으로 볼 수도 있다.

6. 시간이 경과함에 따라 자신이 발생시킨 펄스와 관찰한 펄스를 수직으로 긴 직사각형에 눈금으로 표시하고, 펄스의 누적 수를 '펄스수'로 나타낸다.

7. 오른쪽 아래의 '그래프 보기' 체크박스를 체크하면 설명문 자리에 A와 B가 서로 상대가 보낸 펄스를 읽은 결과를 그래프로 나타낸다. 그래프의 가로축은 기준계에서의 경과한 시간을, 세로축은 상대방의 시간경과를 관찰한 값을 나타낸다. 왕복 동작이 끝나면 그래프 위에 '데이터복사' 버튼이 나타나는 데 이를 눌러 측정 내용을 클립보드로 복사할 수 있다. 이를 계산표 프로그램에 붙여넣기 하여 실측값을 확인하거나 새로운 그래프를 그릴 수 있다.

실험 방법

1. '그래프보기'를 선택해서 상대의 시간의 경과를 관찰할 수 있는 상태로 둔다.

2. 우주선의 속도를 0.5 c 로 하고, '동작보기'를 눌러서 운동을 시작한다. 이때 서로 1년의 간격으로 상대에게 보낸 펄스를 보낸다. 이 수를 세어서 상대의 시간경과를 알게 된다.

3. 운동이 완료되면 그래프의 '데이터복사'로 데이터를 클립보드에 복사한다. 복사한 데이터를 엑셀 등 계산표(스프레드시트) 프로그램에 붙여 넣는다.

4. 우주선에서 출발한 펄스를 지구에서 측정한 데이터와 지구에서 출발한 펄스를 우주선에서 측정한 데이터로부터 상대의 펄스가 관찰되는 시간을 그래프로 그린다.

5. 우주선이 멀어질 때와 가까워질 때에 대해 상대의 시간경과가 느리게와 빠르게 관찰될 것이다. 시간경과가 빠르게와 느리게 측정되는 비율을 각각 기록한다.

6. 그래프가 꺾어지는 지점을 추정하면 우주선이 되돌아오는 시간을 우주선과 지구 각각의 시간으로 측정할 수 있다. 이 시간을 기록한다.

7. 펄스가 1년 단위로 발생되므로 우주선의 속도에 따라 우주선이 지구에 도착한 정확한 시점을 빠트리는 경우가 있다. 이 데이터는 우주선의 속도와 왕복거리와 그래프의 추이로부터 추정할 수 있다. 이로부터 각각의 기준계에서의 시간경과와 이를 상대가 측정한 시간경과를 알아낸다. 도착한 순간에서는 A(B)의 실제의 시간경과와 이를 B(A)가 펄스를 통해서 A(B)의 시간경과를 읽은 값은 서로 일치해야 한다.

8. 우주선의 속도를 0.6 C, 0.7 c, 0.8 c, 0.9 c, 0.99 c 로 바꾸어서 앞의 절차를 되풀이 한다.

9. 우주선의 속도 각각에 대해 기록한 데이터를 표로 작성해서 이를 분석한다.

실험 결과 해석

이 프로그램을 통해서 지구에서 보았을 때 우주선의 왕복 전 과정의 시간 흐름이 자신에 비하여 더디게 가는 것을 알 수 있다. 물론 우주선이 멀어질 때와 가까워질 때의 시간의 흐름이 각각 더 더디게와 빠르게로 관찰되기도 하지만 총체적인 시간의 경과는 시간팽창의 결과와 일치한다. 이 입장은 우주선에서 보았을 때에도 마찬가지이다. 우주선에서 자신의 시간은 일정한 비율로 진행되지만 지구의 시간의 진행은 처음에는 더디게 관찰되지만 되돌아가는 과정에서는 급격하게 빠른 것으로 관찰된다.

상대방의 시간경과를 측정한 결과 그래프를 보면 상대가 일관되게 멀어지거나 가까워지는 것으로 관찰되는 동안에는 그래프의 기울기가 같이 나타나는 것을 알 수 있다. 즉, 상대성 원리가 만족되는 것이다. 그러나 그렇게 보이는 지속시간은 서로 차이가 있다. 이는 B가 (갑자기) 입장을 달리 했기 때문이다. 만일 B가 되돌아오지 않고 영원히 멀어진다면 언제나 상대가 더 젊은 것으로 보겠지만(관측하겠지만) 실제로 누가 더 젊은지 판단할 방법은 전혀 없다.

상대의 시간의 흐름을 일정한 간격으로 발생하는 펄스의 도착시간으로 측정하는 것은 단지 측정의 문제라고 말할 수 있을지 모른다. 그러나 '운동하는 물체의 한 지점에서 일어나는 두 사건이 나에게는 다른 지점에서 일어나는 것으로 관찰되지만 그 시간간격이 길어져 보인다'시간팽창도 역시 측정의 문제이다. 여기서 도플러 효과가 끼어든 펄스의 간격으로 시간의 흐름을 비교해 본 것은 관성계를 갈아 탄 우주선에 대해 한 관성계에 대해 성립된 시간팽창을 동일한 형태로 적용하기 곤란하기 때문이다.

우주인이 받는 펄스의 수 계산

여기서 우주선이 지구로 부터 받는 펄스의 수를 도플러 효과로 계산해 보자. 정지상태에서 내는 펄스의 진동수를 $f_0$라 하면, 우주선이 지구에서 멀어지거나 가까워질 때 지구가 내는 펄스의 진동수는 각각 다음과 같다. \[ f_1 = f_0 \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} \] \[ f_2 = f_0 \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \] 여기서 $\beta$는 광속에 대한 상대속도 $v/c$이다. 한편 우주선의 편도여행 시간은 멀어질 때나 가까워질 때 모두 \[ t_1 = t_2 = \frac{D}{\gamma v} \] 이다. 여기서 $D$는 지구에서 별까지의 거리로서 우주선 입장에서는 이 거리가 로렌츠 수축을 한 것으로 본다. 따라서 지구에서 보내진 펄스의 수는 \[ N_A = \left(f_0 \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} + f_0\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \right) \frac{D}{\gamma v} = \frac{2D}{v}f_0 \] 이다. 이는 자신의 시계에 의한 펄스의 수 \[ N_B = \frac{2D}{\gamma v}f_0 \] 보다 $\gamma$의 비율만큼 많은 펄스를 지구로부터 받은 것이고, 아울러 B가 A에 비해서 나이를 덜 먹었다는 상대론의 결과와 부합된다.



[질문1] 위 실험의 상황에서 B가 속도 0.8 c 로 여행을 해서 되돌아 왔을 때 A와 B는 각각 얼마의 시간이 경과한 것인지 상대론으로 계산해 보라. B의 속도가 0.99 c, 0.999 c 라면 어떨까?

[질문2] 20세인 A와 B가 동시에 20광년 떨어진 별에 각각 0.8 c, 0.99 c 속도로 이주를 했다고 하자. 이 경우 A가 막 도착했을 때 각각의 나이는 얼마일까?

[질문3] 위의 사고실험으로 상대론을 검증하지는 못한다. 즉 상대론에 의한 시간팽창이 성립하거나 아니거나 간에 모순점이 드러나지는 않는다. 이 이유를 설명하라. 그렇다면 이 사고실험은 실제로 쌍둥이 역설을 해소하고 있는가?


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