상대성이론의 역설

길다란 차고가 있다고 하자. 이 차고의 길이는 40m이고, 앞과 뒤에는 리모콘으로 동시에 문을 여닫을 수 있도록 되어 있다. 이때 80m의 길이의 막대기를 로렌츠 상수가 2보다 조금 큰 속력으로 차고 방향으로 돌진시킨다면 차고 입장에서의 막대기의 길이는 로렌츠 수축에 의해 40m가 채 되지 않은 길이로 수축할 것이고 순간적으로 앞뒤 두 문을 닫았다가 열게 된다면 잠깐이나마 막대기를 차고에 완전히 가두는 상황이 일어나게 된다. 마치 큰 코끼리를 작은 냉장고에 넣는 일이 가능해지는 것처럼 보인다. 어떻게 긴 물건을 짧은 용기에 가두어 둘 수 있을까? 만일 가두어진 물건이 정지하게 된다면 무슨 일이 일어날까?

아래 그림은 이와 마찬가지의 상황을 기차와 터널로 바꾼 프로그램이다. 이를 여러모로 운용해 보아서 앞의 차고와 막대기의 역설 문제를 해결해 보자.

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터널에 갇히는 기차_차고와 막대기의 역설과 같은 상황으로 기차가 자기 길이보다 더 짧은 터널 속에 갇히는 상황이다. 그림에서 기차는 $\gamma=2$ ($v\approx 0.866c$)의 속력으로 오른쪽으로 달려가고 있다. 이제 기차는 기차 길이의 반인 터널을 들어가게 된다. 이때 기차 바깥에서 보았을 때 기차의 길이는 1/2으로 수축하므로 기차가 모두 터널 속에 들어간 순간 터널 앞뒤의 문을 닫아버리면 기차는 터널 속에 갇히게 된다. 같은 상황을 기차와 같이 달려가면서 관찰하면 어떻게 보일까? '동작보기' 버튼과 '기차기준계 보기'으로 이들 운동을 관찰하자. 기차의 속력을 $\gamma$ 값이 1 ~ 5까지 사이로 변경시켜 다른 상황도 살펴볼 수 있다. 프로그램은 터널의 오른쪽 문은 기차의 앞이 막 도착하는 순간 닫히고, 왼쪽 문은 기차의 꼬리가 막 통과한 순간 닫히게 설정하였고, 두 문이 모두 닫히는 순간 정지보기로 바뀐다.

위 그림을 통해서 차고와 막대기의 역설에 대한 해결의 실마리를 찾을 수 있었을 것이다.

이 문제는 차고에 정지해 있는 입장과 막대기에 정지해 있는 입장으로 나누어 해석해 볼 수 있다. 차고에서 볼 때 막대기의 앞쪽 끝이 차고의 건너편에 있는 출구 문 앞에 놓여진 사건과, 막대기의 뒤쪽 끝이 차고의 가까운 입구 문을 막 통과한 사건 등 두 사건이 각 관성틀에서 어떤 시공간의 위치를 차지하는가를 따져볼 수 있을 것이다. 먼저 차고 옆에서 정지한 채로 $0.87c$의 속력으로 움직이는 막대기를 관찰하는 사람의 입장에서 생각해보자. 이 관찰자는 자기쪽으로 다가오는 막대기를 볼 수 있을 것이고 이 속도에 대한 로렌츠 상수 $\gamma=2.028$ 이므로 고유길이 80m의 막대기는 40m보다 약간 작은 길이로 관측될 것이다. 따라서 그 막대기의 앞쪽 건너편 출구문 앞에 서는 순간 뒤쪽은 입구 문을 막 통과하여 차고속으로 막대기의 모든 것이 다 들어 온것을 볼 수 있고, 이때 순간적으로 차고의 문을 닫는다면 차고의 내부에 막대기가 갇히게 된다. 물론 그대로 두면 막대기의 앞이 문과 충돌할 것이므로 빠르게 문을 열어서 막대기가 통과시킨다고 하자.

만일에 이 일을 막대기 위에 타고 있거나 같은 속력으로 움직이는 관찰자의 입장에서는 어떻게 보일까? 이 관찰자의 입장에서 막대기는 정지해 있으므로 그 길이 그대로 80m로 인식될 것이다. 반면에 차고가 맹렬한 속력으로 돌진해 오기 때문에 원래의 40m가 채 되지 않는 20m보다 작게 보일 것이다. 이때 앞에서 설명한대로 차고의 관찰자가 두 문을 닫는다면 80m가 20m에 갇혀버리는 믿어지지 않은 일이 일어나는 것일까?

이를 차고와 막대기의 역설(barn-pole paradox)라고 부른다. 앞에서의 쌍둥이 역설과 마찬가지로 이 경우에도 상대론으로 완벽하게 해석이 가능해진다. 이 혼란은 동시성(simultaneity)을 잘못 이해한 때문에 생긴 것으로 앞뒤 문을 동시에 닫았다고 하는 것은 차고에 정지한 계의 입장일 따름이다. 앞 문이 닫히는 것과 뒤 문이 닫히는 것은 차고에 정지한 관찰자 외에 대해서는 동시에 일어난 사건이 아니다.

막대기와 같이 움직이는 관찰자는 막대기의 앞쪽 끝이 차고의 뒤 문을 막 빠져나갈려는 사건이 막대기의 뒤쪽 끝이 차고의 앞 문을 막 통과하여 들어오는 것보다 더 이전에 일어나게 된다. 막대기의 앞쪽 끝이 출구를 완전히 빠져나간 후에 뒤쪽이 입구를 막 통과하여 차고 속으로 들어오는 것이다.

만일에 차고 관찰자가 막대기가 완전히 차고 속을 진입한 이후에 문 두 개를 모두 닫아버리고 다시 열지 않는다면 40m의 차고는 80m의 막대기를 속에 실제로 가두고 있게 될까?

벌레와 리벳의 역설

차고와 막대기의 역설과 비슷한 유형의 여러 역설이 있는 데 다음 그림과 같은 벌레와 리벳의 역설(bug-rivet paradox)이 있다. 리벳을 꼭 맞은 구멍에 밖아 넣는다. 이때 그 속에 벌레가 있고, 또 리벳이 밖히는 속도가 길이수축이 나타날 정도로 빠르다고 하자. 벌레는 안전할 것인가?

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벌레와 리벳의 역설_ 왼쪽 그림처럼 구멍에 꼭 맞는 리벳이 있고 그 속에 벌레가 한마리 들어있다. 리벳을 망치로 빠르게 밖아넣어 $\gamma=2$으로 리벳의 길이가 수축되면 벌레는 다치지 않을 것 같다. 그러나 오른쪽 그림처럼 리벳의 입장으로 생각하면 오히려 구멍의 깊이가 1/2 이 되어 상황이 달라진다. 차고와 막대기의 역설과 유사한 상황이다.

상대론에서의 여러 역설들은 이처럼 입장을 바꾸었을 때 모순이 나타나는 것처럼 보인다. 이때 상대론의 제1가설인 상대성 원리를 거론하게 된다. 즉, 서로 입장을 바꾸어도 같아야 하지 않느냐는 것이다. 그러나 앞서 살펴본 것처럼 이들 역설이 상대성원리를 잘못 적용한 것이므로 상대론에 위배되지 않는다. 따라서 이 역설은 내부적인 모순이 없으므로 진정한 뜻으로의 '역설'은 아니다.