보일-샤를의 법칙

보일-샤를의 법칙 모의실험

다음 프로그램은 용기(직사각형의 2차원)에 100개의 동일한 입자가 서로 활발하게 충돌하면서 동일한 공간을 점유하고 있는 것을 흉내내고 있다. 입자들은 딱딱한 구의 형태를 하고 있어 서로 충돌하게 되면 되튀어나오는 데 이 과정에서 에너지를 잃지 않는 탄성충돌을 한다. (이 프로그램은 2차원 모형이어서 실제로는 구가 아니라 질량을 가진 원판이다)

입자계의 온도는 각각의 입자가 가지고 있는 역학적에너지의 평균값으로 나타내는 데 여기서는 처음에는 20으로 주어져 있고, 이를 슬라이더로 조절할 수 있다. 이때 표시되는 온도값의 단위는 임의로 붙인 것이다. 한편 이 계의 전체 온도는 고정되어 있어 상자의 바깥으로 에너지가 들락거리면서 일정한 온도가 유지되는 등온과정이라 할 수 있다.

피스톤 위에 추가 얹혀 있어 중력 때문에 피스톤은 아래 방향으로 힘을 받게 된다. 만일 용기 내부에 입자가 없다면 피스톤은 아래로 떨어져서 직사각형의 용기는 부피(2차원에서는 면적)가 0이 될 것이다. 그러나 활발하게 움직이는 용기 내부의 입자가 계속해서 피스톤의 아래 면을 때려주어 피스톤을 떠받들게 된다. 이렇게 피스톤을 받드는 힘은 피스톤이 아래로 내려올수록 커진다. 이는 용기의 부피가 작아질수록 피스톤에 입자가 부딪히는 빈도수가 많아지기 때문이다. 시간이 충분히 경과하면 피스톤에 작용하는 추의 중력과 내부입자의 힘이 비겨서 거의 움직이지 않게 된다. 이때 입자의 압력은 바로 추의 질량과 비례한다고 볼 수 있고 이 값은 화면 아래의 슬라이더로 조절 할 수 있다. (여기서는 입자의 수가 100개로 실제의 기체에 비하여 매우 적으며, 또한 입자의 부피도 무시할 수 없어 보일-샤를의 법칙에서 어긋난 행동을 할 수 있다. 이 프로그램에서 모든 입자는 고전역학적인 행동을 하며 운동량과 에너지가 보존되는 탄성충돌을 한다. 또한 실제의 3차원의 기체와 달리 입자들은 2차원 평면상을 움직이고 있다)

1. 처음에 주어진 상황에서 '실행(run)'시키게 되면 피스톤은 아래로 내려왔다가 다시 올라가는 진동을 하게 될 것이다. 시간이 경과하면 피스톤은 열요동(thermal fluctuation)의 수준 정도의 움직임만 있게 되는 데 이때 용기의 부피는 피스톤의 오른편에 수치로 표시되고 있다. 따라서 이때의 '기체온도(temperature)'를 온도값으로 '추의 질량(weight mass)'을 압력으로 하여 부피와 더불어 기록해 둔다.

2. 추의 질량은 고정한채로 온도값을 10, 20, 30, 40, 50으로 바꾸어 이때의 용기의 부피를 기록한다. 이때 온도와 부피가 서로 비례하는지를 확인해 보자. (샤를의 법칙)

3. 온도를 30 정도로 유지한채로 추의 질량을 100, 200, 300, 400, 500 바꾸고 용기의 부피를 기록한다. 이때 두 값 사이에 반비례하는지를 확인해 보자. (보일의 법칙)

4. 이 실험에서의 이상기체방정식을 구성해서 볼츠만 상수에 해당하는 값을 찾아보자.

모의실험의 물리적 상황

이 모의실험에서의 입자는 모두 질량이 1 kg, 반경이 0.05 m인 딱딱한 원판이다. 그리고 입자들 끼리는 직접충돌 이외의 힘이 작용하지 않으며, 한 입자의 평균 에너지는 $kT$이다. 'temperature'로 나타낸 온도 값은 실제로 $kT$를 표시한 것으로 Joule의 단위를 하고 있다. 한편 피스톤 자체의 질량은 없으며, 'weight mass'로 표시한 추의 질량은 역시 kg의 단위로 나타내었다. 또한 용기의 바닥으로부터 피스톤의 높이를 피스톤의 오른쪽에 표시하였는 데 이 값은 m의 단위로 하였고 이로부터 용기의 체적 $V$를 계산할 수 있다.

프로그램에서 용기의 폭을 약 3.3 m로 하였고, 이를 $L$로 두어서 압력, 부피 등을 계산할 수 ??다. 2차원 운동에서의 압력은 단위길이당 작용하는 힘이 되어 피스톤의 질량 $m$이 미치는 압력은 $P=mg/L$이 되고, 피스톤의 오르락내리락이 거의 잦아들게 되는 평형상태에서는 바로 용기 속의 입자들의 압력이 된다. 한편 용기의 체적은 2차원에서 면적이 되어 피스톤의 높이를 $h$라 하면 $V=Lh$가 된다. 따라서 \[ PV = mgh \] 이 되어 이것과 $NkT$와 비교해서 보일-샤를의 법칙이 잘 성립하는지를 살펴볼 수 있는 것이다.

예를 들어 초기에 주어진 환경에서 운동을 실행시키면 피스톤의 높이가 대체로 1.2 m 의 값 정도를 유지한다. 이 값에 대한 용기의 부피는 1.2 × 3.3 = 3.96 (m²)이고, 추의 질량 200 kg에 대한 압력은 200 × 9.8 / 3.3 = 593.94 (N/m) 이므로 $PV$는 2352 Joule이다. 한편 입자의 수는 100개, 온도는 20이므로 $NkT$는 100 × 20 = 2000 Joule이 된다. 따라서 $PV$의 값보다 $NkT$의 값이 적게 나오는 것을 알 수 있다. 이는 이상기체와 달리 용기의 크기에 비하여 입자의 규모가 상대적으로 크기 때문이다. 즉 입자 자신의 체적이 용기의 체적을 줄이는 효과를 준 결과이다.

[질문1] 처음 주어진 상태에 대한 실험 결과로부터 입자의 크기 때문에 줄어든 체적(면적)을 계산해 보라. 이 체적이 모두 입자의 체적에 기인한다고 가정하고, 입자의 반경을 추정하라.

_ 탄성충돌_ 이상기체_ 열저장체_ 운동량_ 입자계_ 온도_ 진동