복굴절

복굴절의 모의실험

복굴절 물질에서 광축이 놓인 평면을 주요면(principal plane)이라 한다. 주요면이 입사면일 때는 비교적 굴절하는 양상이 이해하기 쉽고, 또한 이를 이용한 편광장치들이 널리 활용되고 있다. 다음은 단축성 물질에서 주요면으로 입사하는 빛의 굴절 성질을 알아보는 프로그램이다.

프로그램에서는 정상광선의 굴절률, 이상광선의 굴절률과 함께 경계면과 광축과의 각을 변화시킬 수 있으며, 또한 입사각도 조절할 수 있다. 진입한 빛이 굴절하는 양상을 파벡터 그림으로부터 도형해석의 방법으로 측정하게 한다. 이때 두 갈래로 나누어지는 정상광선과 이상광선 각각에 대해 파벡터가 이루는 각, 위상속도, 광선속도와 방향 등의 데이터가 화면에 즉각 표시되어 다양한 상황에서의 복굴절 특성을 이해할 수 있다.

프로그램 설명

1. 굴절률이 1인 공기에서 복굴절 물질의 주요면을 입사면으로 하여 빛이 진입한다. 입사각은 화면 위 오른쪽의 슬라이더로 0 ~ 90도 범위에서 0.1도 간격으로 변경할 수 있다.

2. 화면 아래의 물질은 단축성 물질로 수직선에 대해 광축(optic axis)를 -90 ~ 90도 범위로 기울일 수 있으며, 이때 정상광선에 대한 굴절률 $n_o$와 이상광선의 굴절률 $n_e$를 1 ~ 2.5 범위에서 조절할 수 있다.

3. 그림에서 보조선으로 나타낸 것처럼 도형을 통해서 정상과 이상광선이 굴절하는 파벡터의 방향이 정해지며, 이때 굴절파의 파벡터와 화면의 오른쪽에 수치로 나타난다. 수치는 $\omega/c$을 단위로 하였기 때문에 진동수가 주어지면 구체적인 값이 계산될 수 있다.

4. 화면 오른편에 나타나는 수치에서, 굴절각은 보통의 경우처럼 파벡터가 향하는 각을 수직선에 대해 기울어진 각도로 나타내었다.

5. 붉은 색조로 나타낸 광선벡터는 파벡터 표면(그림에서는 원이나 타원의 곡선)에 수직한 방향을 도형의 해석을 통해 결정한 것으로 방향과 그 크기가 수치로 표시되어 있다. 역시 방향은 수직선에 대해 기울어진 각도이고, 크기는 $c$를 단위로 한 것이다.

6. 실제 광선의 행동은 좌표계의 선택에 무관하므로 프로그램에 좌표축을 표시하지 않았다. 수평축이나 수직축 중 하나를 $x$로 하고 나머지를 $y$로 할 수 있을 것이다.

7. 이 프로그램은 주요면에 대한 굴절만을 다룬다. 광축이 입사면에 대해 기울어진 경우는 이 그림에서처럼 단순하지는 않다. 그러나 이때 광축이 입사면에 수직인 경우는 복굴절 물질의 파벡터 표면이 입사면에 대해 두 개의 원으로 이루어지므로 두 굴절률 $n_o$와 $n_e$ 각각에 대해 스넬의 법칙이 성립하여 두 경우가 다 정상적이라 할 수 있다.

굴절의 양상 관찰

1. 슬라이더로 $n_o = 2.5, n_e = 1.0, \alpha = 0$로 두고, 다양한 입사각을 연속적으로 변경시켜서 굴절되는 빛이 어떻게 진행하는지 살펴보자. 이때 정상광선과 이상광선의 각각의 편광상태를 판별해 보라.

2. 입사각을 0 으로 두자. 그리고 물질이 기울어진 각$(\alpha)$을 변경시켜서 광선이 향하는 방향을 관찰해 보자. 이때 정상광선은 방향이 꺾어지지 않지만 이상광선은 그렇지 않는 것을 알 수 있다. 이것은 통상적인 스넬의 굴절법칙과 어긋나는 괴이한 현상이라 할 수 있다. 이를 물리적으로 어떻게 설명해야 할까?

3. 방해석과 같은 값으로 두 굴절률을 설정하자. 그리고 입사각을 0 으로 고정한다. 광축이 기울어진 각을 잘 조절해서 이상광선의 방향이 입사광에 대해서 가장 많이 꺾이는 조건을 찾아보자. 이때의 각은 얼마인가? 이러한 조건의 방해석을 가공하기 위해서 방해석을 자연적인 벽개면에 대해 어떠한 각도로 가공해야 할까?

4. 슬라이더로 $n_o = 2.5, n_e = 1.0, \alpha = 0$으로 두고, 입사각을 0 ~ 90 도 범위로 변경해서 정상광선과 이상광선의 굴절각을 측정해서 표로 기록하자. 각각에 대해 스넬의 법칙이 만족되는지 검증해 보자.

광선속도 표면 그래프 측정

1. 파벡터 표면 그래프는 파벡터의 진행 방향에 대해 그 크기를 도형으로 표현한 것이어서 이 프로그램에서처럼 굴절각을 정하는 데 유용하게 쓰인다. 그러나 일반적으로 광선벡터는 이 방향과 어긋나 있다. 따라서 광선이 나아가는 방향에 대한 속도의 크기를 도형으로 표현한 것이 유용할 때가 있다. 이 표면이 앞서 설명했던 광선속도 표면(ray velocity surface)이다. 이를 형성하기 위하여 다음 절차대로 광선벡터을 여러 방향에 대해 측정해서 그래프에 나타내도록 한다.

2. 굴절률을 극단의 값 $n_o = 2.5, n_e = 1.0$ 로 두고, 광축이 수직방향, 즉 기울어진 각 $\alpha = 0$으로 둔다.

3. 입사각을 0 ~ 90 도 범위에서 5도 간격으로 변화시키고 이상광선에 대해 광선속도벡터 $u$를 구한다. $u$의 크기와 각도 값은 화면에 수치로 나타나 있으므로 이 값을 표로 기록하고, 아울러 각각에 대해 성분 $u_x$와 $u_y$를 계산해 둔다.

4. 앞에서 측정한 $u$를 모눈용지에 기록하여 광선벡터의 궤적을 형성한다. 실험에서 측정된 것은 1 사분면에 대해서인 데 이를 확장하여 전 평면에 대해 완성하여 폐곡선으로 완성해야 한다. 그리고 궤적을 정교하게 형성하기 위해서는 입사각의 간격을 더 좁힐 수 있을 것이다.

5. 형성된 그래프와 함께 프로그램에서 주어진 파벡터 표면 그래프를 겹쳐서 놓아보자. 이 둘 사이에 어떤 상관관계가 있는지 판단하자. 상관관계를 잘 보기 위해서 동일한 실험을 굴절률을 달리하여 다른 물질에 대해 시도해 볼 수 있을 것이다. 이때 $n_e$는 1.0 로 두어야 굴절각이 모든 값을 가질 수 있어 그래프가 완성될 수 있을 것이다.

6. 만일 $n_o = 1.0, n_e = 2.5$로 두고, $\alpha = 90$으로 두면 역시 비슷한 측정이 이루어 질 것이다. 본질적으로 두 경우의 이상광선에 대한 결과가 같을지 판단해 보자.

7. 속도벡터 표면그래프를 정상광선에 대해 형성한다면 결과는 자명해 질 것이다. 어떤 결과가 나올지 예측해 보고 실제로 간단하게 확인하는 실험을 해 보라.

[질문1] 입사면이 주요면이 아닌 경우 파벡터 표면의 단면은 타원이 될까? 굴절되는 광선이 이루는 굴절면이 평면 위에 있을까? 이 면이 평면을 형성한다면 입사면과 같은 면에 있을까?

[질문2] 광선속도 표면을 형성하면 파벡터 표면에서의 광축과 비슷한 광선축이 두 개 내지 하나가 만들어진다. 즉 광선축(ray axis)은 광선속도 표면에서 광선속도가 같은 값을 가지는 방향이다. 여기서의 단축성 물질이 광선축을 역시 하나 가질까? 그렇다면 광선축이 광축과 일치할까?

[질문3] 광선속도 표면은 파벡터 표면을 뒤집은 모양을 하게 된다. 즉, $k$값이 크면 $u$값이 작아지게 되어 정상광선과 이상광선의 것이 교환되고, 역표면(reciprocal surface)에 가깝게 된다. 이상광선의 파벡터가 타원으로 표현되는 경우에는 타원의 해석을 통해서 광선속도의 궤적을 알아낼 수 있다. 수학적으로 타원방정식을 해석해서 궤적의 식을 구하라. 그리고 이 결과를 측정결과와 비교해 보자.

[질문4] 여기서 측정한 광선속도 표면은 에너지가 흘러가는 군속도에 대한 것으로 물리적인 의미가 크다. 한편 위상속도는 파벡터 방향과 같고, 크기는 $\omega/k$와 같다. 이렇게 해서 만들게 되는 위상속도 표면은 파벡터 표면과 완전한 역표면을 이룬다. 위 실험에서 굴절률 값을 하나로 고정하고 파벡터 값을 측정하면 위상속도 표면(곡선의 궤적)을 형성할 수 있다. 수학적으로 타원 방정식을 해석해서 궤적의 식을 구하고, 측정에서 얻은 곡선과 비교하라.

_ 스넬의 굴절법칙_ 스넬의 법칙_ 광선의 행동_ 위상속도_ 편광상태_ 군속도_ 진동수_ 주요면_ 입사면_ 굴절률