핵발전

핵분열은 중성자가 핵연료에 포획되어 일어나고, 다시 분열이 일어났을 때 이들 중성자가 핵연료에 포획되는 과정이므로 원자로 내부에서 중성자들이 어떤 상태로 있는가가 중요해진다. 즉, 원자로 내부에서의 중성자의 밀도나 속도분포가 핵분열 반응율과 그것의 지속 여부를 결정하게 된다. 중성자는 질량이 보통의 원자와 질량이 크게 차이나지 않으므로 빠른 중성자라 하더라도 원자와 충돌하면 점차 에너지를 잃어 속도가 줄어들어 나중에는 이들 주변의 원자들과 열평형에 이르게 된다. 중성자 하나가 물질을 이루는 핵 하나와 충돌할 때 잃는 에너지 비율은 평균적으로 다음과 같이 표현된다. \[ \begin{equation} \label{xi} \xi = \ln \frac{E_0}{E} = 1 - \frac{(A-1)^2}{2A} \ln \left(\frac{A+1}{A-1} \right). \end{equation} \] 여기서 잃는 에너지의 역비의 로그값을 $\xi$으로 나타내고 있고, $E_0$와 $E$는 각각 중성자의 충돌 전후의 에너지, $A$는 충돌하는 핵의 질량수이다. 이로부터 대체로 질량수가 작을수록 $\xi$이 더 커서 에너지 손실이 커진다는 것을 알 수 있다. $A\gg 1$일때 $\ln$항에 대해 \[ \ln \left(\frac{A+1}{A-1} \right) = 2\left( \frac{1}{A} + \frac{1}{3A^3} + \frac{1}{5A^5} \cdots \right) \] 의 근사를 쓰면 \[ \xi \approx \frac{2}{A} \] 이다. $A\gt 10$이라면 1% 정도의 오차범위 이내로 더 정교하게 \[ \xi \approx \frac{2}{A+\frac{2}{3}} \] 으로 간결하게 표현된다. 이들 관계는 중성자와 핵이 딱딱한 구끼리의 충돌에서처럼 고전적인 탄성충돌을 한다고 보고 계산한 것으로 중성자의 에너지가 1 MeV 보다 작거나 가벼운 핵과의 충돌에서 잘 들어맞는다.

$\xi$은 $A$ 가 작은 극한과 큰 극한에서가 특별히 흥미가 있는 데 수소핵인 $A=1$ 과 아주 무거운 핵의 경우인 $A=\infty$ 일 때는 \eqref{xi} 식의 우변이 부정값이 되어서 바로 계산되지는 않는다. 이에 대해서 극한의 값으로 계산할 수 있다. $A \rightarrow 1$인 경우는 $\xi=1$이되고, 따라서 1회 충돌에서 에너지는 $1/e$, 즉 36.8% 씩 줄어든다. 이러한 충돌을 18회 거치게 되면 중성자는 그 에너지가 약 $1.5 \times 10^{-8}$으로 줄어들어서 만일 2 MeV의 중성자였다면 ~0.03 eV 정도가 된다. 이 중성자는 대체로 상온의 열에너지 $kT$와 비슷하여 되면 주변과 열적 평형을 이루게 되는 데 이렇게 되는 것을 열평형화(thermalization)라 한다. 한편 $A\rightarrow\infty$인 경우는 $\xi=0$이므로 중성자가 무거운 핵과 탄성충돌을 한다면 에너지를 전혀 잃지 않기 때문에 감속재로 쓸 수 없다.

감속재로서 좋은 물질은 중성자를 흡수하지 않으면서 중성자의 에너지를 효율적으로 줄여야 한다. 따라서 큰 산란단면적과 작은 흡수단면적을 가지면서 $\xi$가 클수록 좋다. 다음 표는 각종 물질에 대한 $\xi$와 열평형화에 이르기까지 충돌횟수 등을 나타낸다.

여러 감속재의 특성_ 여러 감속재들의 $\xi$ 값과 등을 보여준다. 여기서 MSDP는 macroscopic slowing down power로서 $\xi$ 값과 이들 핵의 밀도 등을 종합적으로 반영한 능률이다. 또한 moderating ratio는 중성자가 물질에서 얼마나 빠르게 감속되는가를 평가할 수 있는 척도로서 이 경우 핵이 중성자를 흡수하는 부정적인 효과를 같이 반영한 값이다. 이에 따르면 중수소로 된 중수가 가장 효율이 높은 것을 알 수 있다.

Material	$A$	$\xi$	# of collisions to thermalize	cross section $\Sigma_a$	MSDP	moderating ratio
H	1	$1$	$18$	$0.0792$	$1.53$	$72.0$
D	2	$0.725$	$25$	$0.0009$	$37.0$	$12,000$
Helium	4	$0.425$	$43$	$0.0$	$1.6\times 10^{-5}$	$83.0$
Lithium	7	$0.268$	$67$	$71.0$	$0.176$	$159.0$
Beryllium	9	$0.209$	$80$	$0.008$	$-$	$-$
Boron	11	$0.176$	$103$	$780.0$	$-$	$170.0$
Carbon	12	$0.158$	$115$	$0.005$	$0.064$	$-$

아래 그림은 열평형화에 이른 중성자가 주변의 물질들과 쉼 없이 충돌하면서 에너지를 주고받는 것을 나타낸다. 이때 중성자의 맥스웰-볼츠만 분포함수의 속력분포를 가지게 되고, 이러한 중성자를 열중성자(thremal neutron)라고 한다. 감속재에 의해 에너지를 잃어서 열중성자로 되면 더이상 중성자의 에너지 손실은 없이 온도에 따라 일정한 분포를 지속한다. 이는 마치 뜨거운 물질에 아주 규모가 큰 차가운 물질에 섞이면 뜨거운 물질의 입자들이 마침내 식는 것과 비슷하게 볼 수 있다.

[질문1] \eqref{xi} 식의 $A=1$과 $A=\infty$의 두 극한에 대한 $\xi$값이 각각 1과 0인 것을 검중하라.

[질문2] 물질의 원자를 구성하는 전자와 중성자가 충돌하는 경우 중성자가 거의 영향을 받지 않는 이유는 무엇인가? 이를 무거운 물질이 매우 가벼운 물질과 충돌할 때의 에너지 손실을 계산해서 설명하라.

핵발전

중성자의 감속