저항

앞에서 중력에 의해 굴러 내려가는 구슬의 운동으로부터 옴의 법칙에 대해 간단하게 실험해 보았다.

아래는 옴의 법칙을 검증하기 위해 전자의 수나 격자의 수를 늘려서 보다 정교하게 작성한 모의실험이다. 그러나 실제와 유사한 환경이긴 해도 전자의 수가 250개, 격자의 수가 261개로 실제 고체의 격자에 비해서 턱없이 적다. 그리고 실제의 3차원이 아니라 여기서는 2차원이다.

exp

옴의 법칙 모의실험2_ 가로로 놓여 있는 막대 모양의 고체 양단에 전압을 걸어서 전류를 흐르게 한다. 고체 내부에는 가로 29개, 세로 9개의 격자가 규칙적으로 배열되어서 전자의 운동을 방해하고 있다. 화면 왼편 아래의 슬라이더, 버튼 등으로 막대에 걸리는 전압, 고체의 산란단면적 등 실험의 조건을 변경할 수 있다.

프로그램 설명

1. 막대에는 바둑판 모양으로 고체를 이루는 격자가 배열되어 있으며 이 격자는 주변을 지나가는 전자를 제멋대로의 방향으로 산란시킨다. 산란이 일어날 때 20% 의 에너지를 잃도록 하였다.

2. 화면 아래 왼쪽의 '단면적상수(%)' 슬라이더로 단면적을 2~5%의 범위에서 설정할 수 있다. 단면적의 의미는 전자가 격자 주위를 지날 때의 산란 확률에 비례한다. 격자는 10의 픽셀 간격이며, 전자가 격자의 중심에서 4의 거리 이내를 지날 때 산란을 할 수 있으나 그 가능성은 단면적의 값으로 정해진다. 즉 단면적이 5인 경우 확률이 5%이다.

3. 산란하는 영역에서 단면적으로 설정하는 값의 %로 산란하지만 거듭 산란을 할 수 있기 때문에 속도가 느리면 산란할 확률이 커진다. 따라서 실제의 산란단면적은 설정치에 비례하고, 속도에 반비례하는 경향을 가진다.

4. 전자는 + 전극을 향해 가속운동을 하다가 격자와 때때로 충돌한다. 전자는 모두 250개 이고, 이 중에서 두 전자의 궤적을 약간 다른 색채로 나타낸다.

5. 궤적을 남기는 두 전자의 운동을 관찰하면 앞서 설명했던 평균자유거리를 살펴볼 수 있다. 평균자유거리는 두 충돌 사이를 직선으로 이어준 거리의 평균치이고, 아울러 충돌이 일어나기까지의 시간의 평균값이 평균충돌시간이다.

6. 전류의 값은 + 전극에 도착하는 전자의 수를 단위시간에 세어주는 방식으로 표시하였으나 실제 상황에 비하여 매우 적은 수의 전자를 추적하였기 때문에 전류의 값에 요동이 크게 나타난다. 따라서 전류는 비교적 긴 시간 동안 시간평균한 값으로 측정하며, 하나의 전압에 대한 전류값을 제대로 측정하려면 수 분 이상의 시간이 필요하다. 그리고 전압을 변경하면 일정한 시간이 진행된 후 전류값을 반영한다. 이때 데이터로 삼는 전류값은 순간순간 변하는 전류계의 눈금값을 시간평균한 것으로 그래프 왼쪽 위에 수치로 표시하고, 아울러 그래프에 십자의 표식으로 나타낸다.

7. '자동추적' 버튼은 전압을 1 V 부터 10 V까지 단계별로 전압을 올려가며 측정을 수행하게 된다. 이 과정 중에 다시 버튼을 누르거나 슬라이드로 값을 변경하면 자동측정 모드가 해소된다.

8. 그래프 왼쪽 상단의 '데이터복사' 버튼을 누르면 '전압:전류'의 데이터를 클립보드에 복사한다. 복사된 데이터를 Excel이나 문서편집기에 붙여넣어 활용할 수 있다.

9. 단면적을 변경하면 지금까지 측정했던 데이터는 모두 지워지니 필요한 경우 데이터를 옮겨두어야 한다.

전압에 대한 전류 측정

1. '단면적상수'를 4로 두고, 전압을 1 V ~ 10 V 범위에서 0.2 ~ 0.5 V 간격으로 바꾸어서 전류를 측정한다. 이때 전압을 변경한 후에는 전류값이 비교적 안정된 값을 보일 때까지 기다려야 한다.

2. 모든 측정이 끝나면 그래프를 해석해서 옴의 법칙이 성립하는 여부를 판단한다. 이때 '전압:전류'의 데이터를 복사해서 다른 분석 프로그램을 통해 이들이 만족하는 함수모양을 추정한다.

저항의 단면적 의존성 측정

1. '단면적상수'를 2 ~ 5 범위에서 1 간격으로 위의 '전압에 대한 전류 측정'을 반복한다.

2. 한 단면적에 대해 측정한 데이터를 선형으로 함수맞춤해서 기울기의 역수를 저항으로 삼는다.

3. '단면적:저항'의 그래프를 그리고, 둘 사이의 상관관계를 추정한다.

[질문1] 충돌이 일어나지 않을 때 전자는 포물선 운동을 하는 것처럼 보인다. 왜 그런가?

[질문2] 충돌에 의해 운동의 기억이 지워지지만 전자는 오른쪽으로 서서히 흘러간다. 그 이유는 무엇일까?

[질문3] 전자가 1회 충돌에서 20%의 에너지를 잃어버리게 프로그램 했는 데 이 에너지는 무엇으로 변환된다고 볼 수 있을까?

[질문4] 여기서는 전자가 막대 가장자리에 부딪히면 반사하는 것으로 설정하였다. 실제 금속에서 전자가 금속 바깥으로 나가기 힘든 이유는 무엇인가? 반사하는 모형이 그럴듯한가?

[질문5] 이 모의실험의 결과를 분석해보면 전압:전류의 관계가 선형에서 제법 벗어나 있을 것이다. 시간을 충분히 두어서 많은 데이터를 취득해도 별반 다르지 않다. 실제 고체와 이 모형과 차이나는 점을 모두 열거해 보고, 각각의 차이점이 결과에 어떤 영향을 미칠지 추정해 보자.