파동의 간섭

간섭의 해석

위치를 달리한 두 파원에서 발생된 파동 둘이 공간의 한 곳에서 만날 때, 이들이 지나온 거리의 차이에 의한 위상차 때문에 서로 보강간섭을 하거나 소멸간섭을 하게 된다. 경로차가 파장의 정수 배이면 완전한 보강간섭을, 반정수 배이면 완전한 소멸간섭을 한다는 것은 쉽게 예상할 수 있다. 각각의 파원과 주목하는 한 지점까지의 거리를 각각 $l_1, l_2$ 라도 하자. 두 파동의 위상항은 각각 \[ \phi_1 = kl_1 - \omega t + \varepsilon_1, \] \[ \phi_2 = kl_2 - \omega t + \varepsilon_2 \] 이므로 위상차는 다음과 같다. \[ \Delta \phi = k(l_2 - l_1) + (\varepsilon_2 - \varepsilon_1) = k(l_2 - l_1) + \Delta \varepsilon. \] 여기서 $\Delta \varepsilon$는 두 파동이 파원에서 발생될 때 가지고 있는 위상차이다. 따라서 주어진 지점에서의 위상차가 다음과 같을 때는 완전한 보강간섭을 한다. \[ \Delta \phi = 2\pi n \] 또한 완전한 소멸간섭의 조건은 다음과 같다. \[ \Delta \phi = 2\pi (n + \frac{1}{2}) \] 파원에서의 위상차가 없다면 두 관계는 경로차가 파장의 정수 배이거나 반정수 배 인 경우에 해당하는 것을 확인할 수 있다.

두 파동이 미치는 모든 영역에서 서로 간섭한 결과가 어떠한 지를 따질려면 어떻게 해야 할까? 앞서 '같은 진동수의 두 파동의 중첩'에서 진동수(혹은 파장)이 같은 두 조화파가 합성되면 같은 진동수의 조화파가 생기는 것을 알아보았다. 이 경우는 위상자를 이용하는 것이 효율적이다. 이는 더한 위상자도 두 위상자와 동일한 속도로 회전하고, 또한 진폭은 더한 위상자의 길이와 같기 때문이다.

다음 그림은 이러한 방법으로 위상자로 셈하는 원리를 보여주고 있다. 특정한 한 점을 선택하면 파원에서 그 지점까지 달려오는 파동의 일단을 보여주며, 각각의 위상자와 둘을 더한 위상자도 보여준다. 따라서 위치에 따라 더한 위상자의 길이는 바로 그 지점에서의 파동의 진폭이 된다.

두 위상자를 더해서 간섭 관계식을 도출한다.

다음 그림과 같이 $A_1$과 $A_2$의 크기를 갖고, 둘의 위상차가 $\Delta \phi$인 두 위상자를 합하면 \[ A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \Delta \phi} \] 의 크기의 위상자가 된다. 이는 제2코사인법칙으로 쉽게 검증할 수 있다. 이 값은 위상차에 따라 $|A_1 - A_2|$와 $(A_1 + A_2)$의 범위에서 변한다. 만일 앞의 그림에서 처럼 $A_1 = A_2$이면 \[ A = 2 A_1 \sqrt{\frac{1 + \cos \Delta \phi}{2}} \] 이어서 $0 \sim 2A_1$ 범위로 변하여 완전소멸간섭의 조건에서는 파동이 없어진다. 파동의 세기는 \[ I = 4 I_1 \frac{1 + \cos \Delta \phi}{2} \] 으로 표현된다. 완전보강간섭일 때는 하나의 세기인 $I_1$의 4배가 되는 것을 알 수 있다.

_ 같은 진동수의 두 파동의 중첩_ 파동의 세기_ 위상자_ 위상항_ 조화파_ 진폭