거울

포물면거울

광축에 평행한 광선은 모두 한점에 모인다

오목렌즈의 경우 결상공식이 적용되는 경우는 광축으로부터 크게 기울어지지 않고, 벗어나지 않을 때이다. 구면거울에 대한 여러 가지의 모의실험에서 확인할 수 있었듯이 광축에서 많이 벗어난 광선은 한점에 모이지 않고 흩어져 버린다. 만일 고정된 위치에서 오는 평행광선을 모아주거나 고정된 위치의 광원에서 나오는 빛을 완벽하게 평행광선으로 하고 싶다면 어떻게 해야 할까?

햇빛을 집속하여 가열장치를 만들거나, 손전등이나 탐조등을 만들 때 이런 상황에 놓이게 된다. 그뿐만 아니라 마이크로파통신시 파원이 고정되어 있어 이를 효과적으로 수신하거나 송신하기 위해서는 이러한 특수한 거울의 설계가 필요하게 된다.

한점에서 나온 빛이 평행광선이 되기 위한 곡면의 조건은 반사의 법칙으로 알아낼 수도 있지만, 페르마의 원리로 부터 더 쉽게 유도할 수 있다. 다음 그림을 참고하여 이 곡면이 포물선임을 확인할 수 있다.

이제 포물선의 정의에 따라서 포물선의 방정식을 구해보자. 위 그림에서 수직방향을 $y$, 수평방향을 $x$축으로 삼고, 이 축과 포물선이 지나가는 교점을 원점으로 하자. 포물선의 궤적은 $F$ 점, 즉 $(-f, 0)$ 점과 $x = f$의 직선과의 거리가 같아서 \[ (x+f)^2 + y^2 = (f - x)^2 \] 을 만족하는 지점이 된다. 이를 $x$와 $y$의 관계로 정리하면 다음의 곡선의 방정식이 나온다. \[ y^2 = - 4fx \] 여기서 오른쪽 항의 - 부호는 왼쪽에서 빛이 입사하면서 오목한 면을 만나는 상황을 말한다. $f$가 - 이면 볼록한 구면으로 들어오는 빛이 더 발산할 것이다, 실제의 포물면거울은 포물선의 중심축, 즉 광축에 대해 회전시킨 회전체로 달리 정의하면 한 점과 한 평면과의 거리가 일정한 곡면이 된다 따라서 위 그림의 화면에 수직한 방향으로 $z$ 좌표를 도입하여 이 곡면의 방정식을 써 보면 \[ y^2 + z^2 = - 4fx \] 이고, 이러한 곡면을 거울면으로 한 것을 포물면거울(포물면경, parabolic mirror)이다. 포물면거울은 주로 평행광을 집속하는 용도로 쓰이므로 오목한 면이 거울면이지만 간혹 볼록한 면을 거울면으로 해서 평행광을 허초점 한 점에서 나가는 빛으로 변환하는 데 쓰기도 한다.

아래 그림은 포물면거울에 평면파가 광축에 나란하게 입사해서 초점에 모이거나 초점에서 구면파가 발생되는 경우에 대하여 파의 진행모습을 보여주고 있다.

[질문1] 포물면거울이 평행파를 초점으로 모으는 원리를 거울의 반사의 법칙으로 검증하라.

[질문2] 포물면거울의 중심부는 거의 구면으로 생각할 수 있어서 근축광선의 경우 오목거울처럼 행동한다. 구면거울의 초점거리 식과 포물면거울의 $f$가 일치하는 것을 확인하라.

[질문3] 포물면거울의 볼록한 면이 거울면으로 되어 있을 때 이를 향해서 축과 나란한 방향으로 입사하는 평행광선이 내부의 한 점에서 나가는 듯이 반사된다. 이 점이 초점임을 보여라.

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