앞 페이지의 프레넬 적분함수는 복소함수로서 이로부터 비교적 쉽게 프레넬 회절에서의 위상자를 계산할 수 있다.
그리고 $C(w)$ 및 $S(w)$ 함수를 복소공간의 실축과 허축으로 하여 $w$를 매개변수로 하여 곡선을 그린 것을 코르뉴 나선(Cornu spriral)이라 한다. 이 곡선은 실제로 직사각형구멍이나 슬릿의 프레넬 회절양상을 이해하는 데 매우 편리한다.
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코르뉴 나선_ $w$를 매개변수로 하여 프레넬 적분함수를 복소평원 위에 나타내었다. $w=0$은 원점이 되고 $w$가 증가하면 1상한의 나선을 따라서 계속 이동하여 $w=\infty$일 때 $(0.5, 0.5)$에 수렴한다. 한편 $w$가 음일 때는 원점에 대한 대칭으로 3상한을 따라가며 $w=-\infty$일 때 $(-0.5, -0.5)$에 수렴한다. 그리고 각 지점에서의 접선이 $x$축과 기울어진 각은 $\beta=\pi w^2/2$가 된다.
위 그림처럼 코르뉴 나선은 $w$가 0에서부터 $\infty$로 증가함에 따라 원점으로부터 나선을 그리면서 $(0.5, 0.5)$로 수렴한다. 이때 나선을 따라가는 길이는 \[ dl^2 = dC^2 + dS^2 = \cos^2 \frac{\pi w^2}{2} dw^2 + \sin^2 \frac{\pi w^2}{2} dw^2 = dw^2 \] 이 되어 매개변수가 증가하는 만큼 길이가 늘어나게 된다. 한편 각 나선에서의 기울기는 \[ \frac{dS}{dC} = \tan \frac{\pi w^2}{2} = \tan \beta \] 가 되어 $w^2$이 $1, 2, 3, 4...$ 로 커질때 마다 기울기가 $\infty$, $0$으로 변하게 된다.
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코르뉴 나선의 세부 모습_ 1상한에서의 코르뉴 나선의 세부 모습을 보여준다. 화면 아래의 '$w$ 변경' 슬라이더를 이동시키면 $w$의 값이 변함에 따라 나선 위를 따라가는 점을 보여준다. 또한 원점으로부터 출발하는 붉은 색조의 화살은 위상자를 나타낸다. '데이터복사' 버튼을 누르면 프레넬 적분의 수치표가 복사되어 이를 엑셀 등에 붙여넣어 활용할 수 있다.
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