프레넬 회절

직사각형구멍의 프레넬 회절 해석

다음 그림처럼 광원 S에서 나온 빛이 직사강형 구멍을 통과하여 스크린의 P점에 도착하는 경우에 생기는 회절무늬를 알아보자.

S와 P를 연결한 직선이 구멍면과 만나는 점을 좌표의 원점으로 한 2차원 좌표계를 설정하자. 이때 열린 구간은 $x_1 \sim x_2$, $y_1 \sim y_2$가 된다. 그리고 구멍면에서 Q점을 $(x,y)$, 면적소를 $x\sim x+dx, y\sim y+dy$로 삼으면 P에 도착하는 빛은 다음과 같이 계산된다.

우선 Q 점을 경유하는 빛의 전체 경로는 다음과 같이 근사시킬 수 있다. $$\frac{1}{L}=\frac{1}{h'}+\frac{1}{h},$$ $$r' + r \approx h' + h + \frac{x^2+y^2}{2L}.$$ 이를 회절공식에 적용하여 P 점에서의 파동량을 계산하면 다음과 같다. $$\Psi_P = C\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2} e^{ik\frac{x^2+y^2}{2L}}dxdy.$$ 여기서 적분과 무관한 양들은 모두 $C$에 포함시켰다. 이 적분은 $x$와 $y$ 부분의 적분으로 분리되어 같은 형태의 두 적분값의 곱이 된다. $$\Psi_P = C\left[\int_{y_1}^{y_2}e^{ik\frac{y^2}{2L}}dy \right] \left[\int_{x_1}^{x_2}e^{ik\frac{x^2}{2L}}dx \right].$$ 이 적분은 다음과 같이 $x,y$를 차원이 없는 양인 $u,v$로 적분변수변환을 하면, $$u=x \sqrt{\frac{k}{\pi L}}, ~ ~ v=y \sqrt{\frac{k}{\pi L}},$$ $$\Psi_P = C' \left[\int_{v_1}^{v_2}e^{i\pi\frac{v^2}{2}}dv \right] \left[\int_{u_1}^{u_2}e^{i\pi\frac{u^2}{2}}du \right]$$ 이다. 여기서의 적분은 프레넬 적분함수로 특수함수의 하나이다. $$f(w) = \int_0^w e^{i\pi \frac{s^2}{2}}ds = C(w) + iS(w),$$ $$C(w) = \int_0^w \cos \left(\frac{\pi s^2}{2} \right)ds,$$ $$S(w) = \int_0^w \sin \left(\frac{\pi s^2}{2} \right)ds.$$ 이들 두 개의 실수함수 $C(w)$, $S(w)$로 P 점에서의 파동량을 구하면, $$\Psi_P = \frac{\Psi_0}{(1+i)^2} \left[ C(u)+iS(u)\right]_{u_1}^{u_2} \left[ C(v)+iS(v)\right]_{v_1}^{v_2}$$ 이다. 여기서 $\Psi_0$는 완전히 열려있는 경우에 스크린에 도달하는 빛의 파동량이다.

[질문1] $w$가 큰 극한에서 프레넬 적분함수가 다음과 같이 되는 것을 검증하라. $$C(w) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi w} \sin \left(\frac{\pi w^2}{2} \right),$$ $$S(w) \approx \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi w} \cos \left(\frac{\pi w^2}{2} \right).$$

_ 회절공식_ 파동량