전위

라플라스 방정식

전하는 전기장을 만들고, 전기장은 전위의 분포로 해석할 수 있으므로 전하가 전위를 만드는 것으로 이해할 수 있다. 전하와 전위를 직접 관련시키기 위해 다음의 가우스 법칙과 전위와 전기장의 관계를 이용하자. \[ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \] \[ \mathbf{E} = -\mathbf{\nabla} V \] 마지막 식에 구배($\mathbf{\nabla} \cdot $)를 취하면, \[ \nabla^2 V = -\frac{1}{\varepsilon_0} \rho \] 을 얻는다. 전하가 만드는 전위와의 관계인 이 식을 푸아송 방정식(Poisson equation)이라 한다. 일반적으로 이 방정식으로 임의의 전하분포에 대한 전위를 직접 구하는 문제, 즉 푸아송 방정식을 수학적으로 풀이하는 것은 어려운 일이나 이 식을 통해서 전위의 수학적인 특성을 잘 이해할 수 있다.

특히, 전하로부터 비켜난 지점, 즉 전하가 없는 지역에서는 푸아송 방정식이 다음과 같이 보다 간단한 형식의 라플라스 방정식(Laplace equation)으로 되어 \[ \nabla^2 V = 0 \] 이 방정식은 정전기학에서 가장 중요한 식으로 물리학의 다른 영역에서도 동일한 방정식을 만족하는 상황이 많이 나타난다. 이의 해를 다양한 경계조건에서 풀이하는 일이 바로 정전기학의 문제를 해결하는 일이 되며, 여러 가지 좌표계에서 이의 일반해를 구하는 절차가 자세하게 알려져 있다.

1차원에서 이 방정식을 해석해 보자. 이때 $V$는 오직 $x$만의 함수가 되고, 라플라스 방정식은 \[ \frac{d^2V}{dx^2} = 0 \] 이다. 따라서 이의 일반해는 다음과 같이 직선의 식이 된다. \[ V(x) = ax + b \]

2계미분방정식에서 정해지지 않은 두 개의 미지수가 여기서는 $a$와 $b$이며 이 두 값은 두 개의 경계조건으로 부터 구해질 것이다.보통 두 지점에서의 전위값이 정해져 있는 경우가 많은데 이때에는 다음 그림처럼 두 지점의 전위를 이어준 직선이 된다.

_ 가우스 법칙_ 경계조건_ 전기장_ 전하

라플라스 방정식의 성질

2차원과 3차원에서의 라플라스 방정식을 직교좌표계에서 나타내면 \[ \frac{\partial^2 V }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V }{\partial y^2} = 0 \] \[ \frac{\partial^2 V }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V }{\partial z^2}= 0 \] 이나 이 방정식은 편미분방정식이 되어 1차원의 경우처럼 손쉽게 풀리지는 않는다. 물론 점전하의 전위가 거리에 반비례하는 형태로 간단하게 표현되기 때문에 비록 많은 전하가 모여있는 상황이라 하더라도 각각이 만드는 전위를 모두 합하면 된다. 이렇게 계산된 전위는 당연히 라플라스 방정식을 만족하므로 이 방정식의 일반적인 풀이가 왜 필요한가,라고 생각할 수 있을 것이다. 비록 연속적인 분포를 막론하고 전하의 분포를 완벽하게 알고 있다면 라플라스 방정식으로 힘들여야 할 이유가 없다. 그러나 실제의 상황은 이와 다르게 주어지는 경우가 대부분이다.

전하는 서로에게 힘을 미치고 있기 때문에 그 배치는 계속해서 변한다. 일반적인 상황에서는 전하들이 오직 정전기적인 힘만으로는 평형상태를 이루면서 안정된 상태로 있을 수는 없다. 양자역학의 원리가 개입되어야만 비로소 안정된 상태로 있을 수 있다. 바로 양자역학이 전하들이 모여서 원자나 분자 등의 물질로 되고, 대부분의 물질이 중성으로 정전기적으로 안정되게 존재하게 한다.

여기서는 아직 양자역학을 말할 단계는 아니므로 여러 유형의 물질이 가지는 성질만 이용하면 된다. 정전기에서는 특히 도체가 중요한데, 이것에 투입한 초과 전하는 도체 전체가 등전위가 되도록 표면에 자동으로 분포하게 된다는 점이다. 어떤 공간에 여러 도체가 배치되어 있고, 이들 각각에 인위적으로 특정한 전위를 걸어줄 때 이 때문에 생기는 주변의 전위는 어떻게 되는가를 풀이하는 상황이 정전기의 대부분의 상황이다. 따라서 경계에서의 전위를 알고 있을 때 그 내부의 전위를 라플라스 방정식으로 풀이하게 된다.

한 점의 전위는 주변 전위의 평균값이 된다.

$z$축 위 $z_0$의 위치에 전하 $Q$가 있다고 하자. 이 전하는 주변에 적절한 전위를 형성할 것이다. 이제 원점을 중심으로 한 반경 $R$인 구면에 형성되는 전위의 평균값 $V_{avg}$이 얼마가 되는지 계산해 보자. \[ V_{\mathrm{avg}} = \frac{1}{4 \pi R^2} \oint_{\mathrm{Sphere}} V dA = \frac{1}{4 \pi R^2} \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r'} R^2 \sin\theta d\theta d\phi \] 여기서 $r'$는 전하와 극좌표로 $(R, \theta, \phi)$로 표현되는 한 점 사이의 거리로서 \[ r' = \sqrt{z_0^2 + R^2 - 2z_0 R \cos \theta} \] 이고, $R^2 \sin\theta d\theta d\phi$은 반경 $R$의 구면을 구극좌표로 분할한 면적요소이다.

이제 위 적분을 다음 절차로 계산한다. \[ \eqalign{ V_{\mathrm{avg}} &=& \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{2} \int_{\cos\theta=-1}^{\cos\theta=1} \left[ z_0^2 + R^2 - 2z_0 R \cos \theta \right]^{-1/2} d(\cos\theta) \\ &=& \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{2} \frac{-1}{z_0R} \left[ \sqrt{z_0^2 + R^2 - 2z_0 R \cos\theta } \right]_{\cos\theta=-1}^{\cos\theta=1} \\ &=& \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{2z_0 R} \left[ |z_0 + R| - |z_0 - R| \right] \\ &=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 z_0} } \] 마지막 계산에서 전하는 적분 구면의 바깥에 있으므로 $z_0 \gt R$, 즉 $|z_0 - R| = z_0 - R$을 이용하였다. 한 점전하가 만드는 전위에 대해 그 전하를 포함하지 않는 어떤 구면에 대해 전위를 평균하면 구의 중심에서의 전위라는 것을 나타낸다. 이제 여러 전하가 있다 하더라도 이들 하나하나가 만드는 전위를 합하면 전체 전위가 되기 때문에 이들 전하를 포함하지 않는 임의의 구면의 평균전위 역시 중심의 전위와 같다고 할 수 있다.

전하에 의해 생기는 전위는 그 전하를 제외한 공간에서 라플라스 방정식의 해이기 때문에 전위가 가지는 이러한 평균값에 대한 성질은 라플라스 방정식의 해가 가지는 일반적인 것으로 생각할 수 있다. 즉, 라플라스 방정식을 만족하는 영역으로 국한할 때, 그 해는 다음 성질을 가진다.

1. 1차원의 경우 한 점의 해는 주변의 같은 거리의 두 점의 해의 평균값이다.

2. 2차원의 경우 한 점의 해는 주변의 같은 거리, 즉 그 점을 중심으로 하는 원에서의 해의 평균값이다.

3. 3차원의 경우 한 점의 해는 주변의 같은 거리, 즉 그 점을 중심으로 하는 구면에서의 해의 평균값이다.

4. 해의 극대나 극소가 존재하지 않는다. 해의 극치는 언제나 라플라스 방정식이 성립하지 않는 경계에만 존재한다. 전하들에 의해 형성된 전위의 경우에는 전하가 위치하는 곳에서만 극치가 있을 수 있다.

5. 정전기적인 전위만으로 어떤 전하를 공간에 고립된 지점에 가두어 둘 수 없다. 전하 $q$가 느끼는 퍼텐셜이 $U = qV$로 $U$의 극치가 없기 때문에 $U$의 최솟값이 존재하지 않기 때문이다.

[질문1] 점전하 $Q$를 포함하는 구면에서 이 전하에 의한 전위의 평균이 다음으로 주어지는 것을 보여라. \[ V_{\mathrm{avg}} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} \] 이는 구의 중심에 전하가 놓여있다고 생각할 때 구면에서의 전위와 같다.

[질문2] 2차원에서 라플라스 방정식을 극좌표 $(r, \theta)$로 나타내면 다음과 같다. \[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial V(r, \theta)}{\partial r } \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 V(r, \theta)}{\partial \theta^2} = 0 \] 만일 $V$가 $\theta$에 무관하다면 이 방정식은 상미분방정식(ordinary differential equation)이 되고, 그 해가 \[ V(r) = a \ln r + b \] 로 되는 것을 보여라. 이는 3차원 원통좌표 $(r, \theta, z)$에서 $V$가 $\theta$와 $z$에 무관할 때도 마찬가지이다.

[질문3] 전위를 구극좌표로 나타내었을 때 오직 원점에서의 거리 $r$에만 의존한다면 이의 해가 다음과 같이 주어지는 것을 보여라. \[ V(r) = \frac{a}{r} + b \]

_ 양자역학_ 전하_ 도체