음파

소리의 크기

파동이 전파될 때 에너지도 같이 전파된다. 에너지가 전달되는 비율을 단위시간당 단위면적당의 에너지로 나타내어 이를 파의 세기(intensity)라고 한다. 3차원의 파동인 경우 어느 순간 어떤 단면을 단위시간당 통과하는 에너지는 일률의 단위가 되는 데 이를 다시 그 통과한 단면적으로 나누어 파의 세기라 하는 것이다. 2차원의 파동인 경우 단위 길이를 통과하는 것으로 계산하고, 1차원의 경우에는 통과하는 단면이 점에 불과하여 단위시간당의 에너지를 파의 세기를 정의하게 된다. 소리의 경우도 다른 3차원 파동과 마찬가지로 그 세기를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이에 따라 소리의 세기는 W/m²의 단위를 가지게 된다.

한 점으로부터 발생되어 방사상으로 균등하게 퍼져 나가는 파동의 경우 그 파원으로부터의 거리가 멀어지면 파가 점유하는 공간은 거리의 제곱에 비례하여 점점 커지게 된다. 따라서 파의 세기는 다음과 같이 거리의 제곱에 반비례하게 된다. \[ I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi R^2} \] 여기서 $P$는 파원에서 단위시간당 방출되는 에너지이고, $4\pi R^2$는 그 파동의 에너지가 퍼져있는 구의 표면적이 된다.

위 그림에서 거리가 멀어질수록 면적이 제곱에 비례하여 커지는 것을 보여준다

이에 따라 파원으로부터의 거리가 각각 $R_1$, $R_2$인 지점에서의 파의 세기는 다음과 같이 거리의 역비의 제곱이 된다. \[ \frac{I_2}{I_1} = \frac{P/4 \pi R_2^2}{P/4 \pi R_1^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \]

소리의 세기는 우리 귀로 들을 때 소리의 강약으로 느껴진다. 세기에 따라 큰 소리, 작은소리로 들리는 데 우리 귀로 겨우 들을 수 있는 작은 소리는 $10^{-12} \mathrm{W/m^2}$정도이다. 이를 가청한계(threshold of hearing)라 한다. 한편 소리가 매우 커지면 우리는 고통을 느끼기 시작하는 데 이를 고통한계(threshold of pain)라 한다. 이 둘의 비는 다음과 같이 1조(10¹²) 배로 센서로서 귀의 능력이 엄청나다고 할 수 있다. \[ \frac{I_{\mathrm{pain}}}{I_{\mathrm{min}}} = \frac{1~\mathrm{W/m^2}}{10^{-12}~\mathrm{W/m^2}} = 10^{12} \]

그러나 귀는 그 구조상 세기가 두 배로 커진다고 두 배로 큰 소리로 듣는 것은 아니다. 대체로 10배의 세기가 되었을 때마다 한 단계씩 큰 소리로 듣는 데 이에 따라 소리의 크기를 청각 즉 우리 귀의 감각으로 표시하자면 세기에 로그의 척도를 적용해야 한다. 청각을 포함해서 사람의 감각은 주어진 자극의 물리량이 아니라 그 로그에 비례한다는 베버-페흐너의 법칙에 따른다. 소리의 경우 그 세기의 로그값을 벨(bel)이라하며 귀의 가청범위는 0~12 bel 이 된다. 즉 1 bel이 커지면 10배의 세기가 되고, 우리 귀로는 한 단계 큰 소리로 듣게된다. 보통 소리의 세기는 이 벨을 10배하여 데시벨(decibel)로 표시한다. \[ \beta = 10 ~\log \frac{I}{I_{\mathrm{min}}} , \quad I_{\mathrm{min}} = 10^{-12} ~\mathrm{W/m^2} \]

[질문1] CD 음반은 16비트의 정밀도로 소리를 녹음한다. 0~2¹⁶-1, 즉 0~65,535의 숫자로 파형을 기록한다. 겨우 들리는 소리를 1로 기록한다면 이보다 65,535배 진폭이 큰 신호는 2진수의 16 자리수 중 가장 큰 값인 65,535로 기록한다. 이는 몇 데시벨의 소리까지를 기록한다는 말일까? 음향기기에서 이러한 최소 음량에 대한 최대 음량의 비를 데시벨로 나타낸 것을 동작범위 혹은 다이내믹레인지(dynamic range)라고 한다.

_ 파동의 에너지_ 3차원 파동_ 진폭