보일-샤를의 법칙

대기의 법칙

중력의 영향을 받는 기체

보통 규모의 용기에 들어 있는 기체의 경우 중력의 영향을 거의 무시할 수 있지만 대기권에서와 같이 높이의 차이가 심하면 중력의 영향으로 기체가 아래쪽으로 쏠리는 효과가 크게 나타난다. 기체의 온도가 올라가면 열적인 운동이 더 활발해져서 중력의 영향을 덜 받겠지만 온도가 내려가면 중력의 영향이 커져서 아래로 더 쏠리게 된다.

대기권에서 고도에 따라 기체의 밀도변화를 계산하기 위해서 왼쪽 그림처럼 위 쪽을 $z$ 좌표로 하여 $z \sim z+dz$, 면적 $A$의 얇은 판을 고려하자. 이 판이 받는 힝은 아래위의 압력차에 의한 힘과 중력이 정확하게 비겨서 평형을 이룰 것이다. 이때 질량 $m$인 입자의 밀도(단위체적당 개수)를 $\rho$라 한다면 중력은 $(m \rho Adz)g$가 될 것이다. 힘의 평형조건은 \[ (P+dP)A + mg \rho Adz = P A \] 이다.

전체적으로 온도가 $T$로 균일하다고 가정하면 \[ P= \frac{N}{V}kT = \rho kT \] 이므로 앞의 관계는 다음과 같이 정리된다. \[ \frac{dP}{dz} = - \frac{mg}{kT} P \] 이를 만족하는 $P(z)$는 다음의 지수함수이다. \[ P(z) = P(0) \exp({-\frac{mgz}{kT}}) \] 이 식을 대기의 법칙(law of atmospheres, barometric law)이라 한다. 여기서 고도가 높아지면 지수함수적으로 압력이 낮아지는 것을 알 수 있는 데 감소하는 정도는 오직 기체 분자의 질량에 따른다. 따라서 가벼운 분자는 천천히 감소하고, 무거운 분자는 급하게 감소한다.

한편 밀도는 압력과 비례하므로 기체의 밀도도 다음과 같이 마찬가지 함수 꼴이 된다. \[ \rho(z) = \rho(0) \exp({-\frac{mgz}{kT}}) \] 실제로 대기권에서 고도에 따른 중력의 변화도 있고, 이보다 더 심각한 것으로 대기 온도가 고도가 높아지면 낮아지는 효과가 있기 때문에 대기의 법칙은 지표에서 가까운 곳에서 성립한다.

무거울수록, 온도가 낮을수록 더 아래로 치우친다!

다음 모의실험은 대기의 법칙을 알아보기 위한 것으로 입자는 같은 크기의 중력을 받고 있어서 전체적으로 아래쪽으로 입자가 치우쳐서 분포하는 것을 확인할 수 있다.

[질문1] 대기압은 지상 5.6km 에서 거의 1/2 로 줄어든다. 대기의 온도가 0℃로 균일하고, 한 종류의 분자로 되어 있다고 가정할 때 이 분자의 질량을 계산하라. 이를 대기의 약 80%를 차지하는 질소의 질량과 비교하라.

[질문2] 대기압은 지상 5.6km 에서 거의 1/2 로 줄어든다. (a) 높이는 8488 m 인 에베레스트 산의 정상에서의 압력은 얼마일까? (b) 대기압이 10%로 줄어드는 고도는 얼마일까? 또한 지표에서 이 고도까지에 전체 대기의 몇 % 가 포함되어 있을까?

[질문3] 중력을 받는 입자의 에너지는 $\varepsilon = {p^2}/{2m} + mgz$이다. 통계역학적인 해석으로 대기의 법칙을 확인하라. ('이상기체의 속력분포함수' 단원에서의 분포함수 유도과정을 참고할 수 있다)

_ 이상기체의 속력분포함수_ 통계역학_ 온도