펄스 레이저

모드 로킹

하나의 레이저에서 나오는 빛의 선 스펙트럼은 아래 그림에 나타낸 것처럼 그 진동수가 $\nu_c=c/2d$의 같은 간격을 하고 있다. 또한 이들 각각은 모두 독립적인 진동 모드이기 때문에 위상은 제멋대로의 값을 가질 것이다.

이들 각각의 진동 모드의 위상이 시간에 따라서 변하지 않는다고 하자. 이 경우 레이저의 밝기는 시간 영역(time domain)에서 $T=1/\nu_c$의 주기를 가진 주기함수가 된다. 이를 다음과 같이 명확히 살펴본다. 각 세로 발진 모드 각각의 진동수, 진폭, 위상을 $\nu_n$, $E_n$, $\phi_n$의 고정값을 가진다고 하자. 이제 전체 파동함수는, \[ \begin{equation} \label{eq1} E(t) = \sum_{n=-(N-1)/2}^{(N-1)/2} E_n \exp[i 2\pi(\nu_0 + n \nu_c)t + i\phi_n] \end{equation} \] 으로 정리된다. 여기서는 전체 모드의 수는 $N$개로 하였다. $n=0$이 중심 모드로서 위 그림에서 보듯이 중심에서 제일 강한 스펙트럼을 하므로 $E_0$가 제일 큰 값을 가질 것이다. 이제 $|E(t)|$가 \[ T=1/\nu_c=2d/c \] 에 대해 주기성을 가지는 것을 보기위해 \eqref{eq1} 식에서 $t+T$의 파동량을 계산하자. \[ \eqalign{ E(t+T) &=& \sum_{n=-(N-1)/2}^{(N-1)/2} E_n \exp \left[i 2\pi(\nu_0 + n \nu_c)\left( t + \frac{1}{\nu_c} \right) + i\phi_n \right] \\ &=& E(t) \exp \left( i \frac{2\pi \nu_0}{\nu_c} \right) } \] 이 결과에서 $E(t)$와 $E(t+T)$는 단지 위상의 차이만 있으므로 $|E(t+T)|=|E(t)|$이다. 이는 레이저의 밝기가 $T$, 즉 빛이 공진기를 가로지르는 시간 $\frac{2d}{c}$를 주기로 하여 계속 동일한 패턴이 거듭되는 것을 알 수 있다.

일정한 밝기로 발진되는 연속발진 레이저도 주기함수의 한 예이므로 당연히 주기성을 가진다고 해서 펄스로 발진한다는 것은 아니다. 실제로 각 모드의 위상이 시간에 따라서 빈번히 변하고 또한 서로의 모드는 완전히 제멋대로라면 펌핑의 정도에 맞추어진 밝기로 빛을 방출할 것으로 생각할 수 있다.

만일에 각각의 공진 모드의 위상을 적절하게 서로 관련시킬 수 있다면 날카로운 펄스가 $T$ 시간의 간격을 가지고 방출되게 할 수도 것이다. 이러한 특졀한 위상으로 관련되게 하여 고정시키는 것을 모드 로킹(mode locking)이라고 한다. 모드 로킹으로 만드는 레이저는 앞에서 설명한 다른 두 가지의 펄스 레이저보다 훨씬 좁은 ps나 fs의 폭을 가진 강력한 펄스 레이저를 만들 수 있다.

이를 간단히 살펴보기 위해 각 선 스펙트럼의 진폭과 위상을 모두 동일하게 하였다고 하자. 이 경우 $E_n=E_0$, $\phi_n=0$ 이다. \[ E(t) = E_0 \sum_{n=-(N-1)/2}^{(N-1)/2} \exp[i 2\pi(\nu_0 + n \nu_c)t] = E_0 e^{i2\pi \nu_0t} \sum[e^{i2\pi \nu_c t}]^n \] 이 식을 정리하면, \[ \begin{equation} \label{eq2} E(t)= E_0 e^{i2\pi \nu_0t} \frac{\sin (\pi N \nu_c t)}{\sin (\pi \nu_c t)} \end{equation} \] 이 파형은 다음 그림에서 보는 것처럼 $\frac{T}{N}$의 날카로운 선폭과 $N$에 비례하는 진폭을 갖는 펄스 형태를 하게 된다.

펄스의 폭을 좁히기 위해서는 모드의 수 $N$를 크게 해야 한다. $N=\Delta \nu/\nu_c$이므로 레이저의 선폭을 늘이거나 레이저의 세로 공진 길이 $d$를 길게 할 수 있을 것이다.

다음 그림은 모드 로킹의 레이저를 발진하는 장치를 보여준다. 모드 로킹에 의한 레이저는 $2d/c$의 시간간격으로 펄스를 발생시키므로 이를 주기로 하여 아주 짧은 순간 광스위치를 열어주게 된다면 자연스럽게 각 스펙트럼의 위상이 가다듬어질 것이다. 광스위치를 투과도가 비선형인 물질을 빛이 왕복하는 경로 사이에 놓을 수도 있다. 이 물질은 아주 강한 빛에서 투명도가 커지는 것으로 예를 들어 염료나 불순물리 유입된 결정이나 반도체가 그러한 특성을 가지고 있다. 이 경우, 레이저 발진의 초기에는 투과도가 낮으므로 레이저가 약하게 발진되지만 우연히 위상이 정렬되는 순간 광스위치는 강력한 빛에 의해 거의 투명해지고, 더욱 급격한 발진이 일어날 수 있게 된다.

[질문1] \eqref{eq2} 식을 유도하라. 또한 펄스에서의 밝기가 $N^2$에 비례하는 것을 검증하라.

[질문2] Ti:sapphire 레이저는 Al₂O₃에 Ti를 불순물로 주입한 물질을 레이저 매질쓴다. 이는 결정의 에너지 띠에 의한 발진을 하기 때문에 파장의 범위가 650 ~ 1,100 nm 정도로 매우 넓은 폭을 가져서 가변파장 레이저(tunable laser)나 초단펄스 레이저(ultrashort laser)로 이용된다. 만일 길이가 30 cm의 공진기를 쓴다면 세로공진 모드의 수 $N$은 얼마쯤 될까? 이를 이상적으로 모드 로킹 시켰다면 펄스의 폭은 얼마까지 줄게 될까?

_ 레이저 발진_ 레이저 매질_ 파동함수_ 파동량_ 반도체_ 진동수_ 진폭_ 위상_ 주기