2차원 진동

원운동과 조화진동

태양주변을 돌고 있는 지구의 운동을 우주 멀리서 지켜본다면 지점에 따라 다른 형태의 운동으로 관측할 것이다. 북극성이 있는 방향에서 본다면 원운동에 가까운 타원운동을 하지만 지구가 회전하는 평면 위의 한 지점에서 본다면 지구는 태양을 중심으로 하는 단진동에 가까운 운동이 될 것이다. 실제로 원주를 따라가는 속력이 일정한 등속 원운동의 경우 중심을 좌표의 원점으로 하는 $x$, $y$ 2차원 좌표계에서 $x$와 $y$의 운동은 원점 양쪽을 원운동의 반경과 같은 진폭을 갖는 단조화진동과 정확하게 일치한다.

아래 프로그램은 등속원운동을 하는 물체의 운동과 이것을 $y$ 축으로 투영한 그림자의 운동을 보여주고 있다. $t = 0$ 에서 $+x$ 축을 막 통과한 물체가 회전반경 $A$, 일정한 각속도 $\omega$로 회전할 때 이 물체의 $x$ 위치나 $y$ 위치는 다음과 같이 표현된다. $$x(t) = A \cos(\omega t)$$ $$y(t) = A \sin(\omega t)$$ 두 식 모두 단조화진동으로 각각 진폭이 $A$이고 각진동수가 $\omega$ 이다. 단 $t=0$에서의 출발위치가 각도 $\phi$ 이면 이 식의 $\omega t$ 대신에 $\omega t +\phi$ 로 바뀌어 가장 일반적인 조화진동의 형태가 된다.

이렇게 등속원운동이 조화진동으로 대응되는 이유는 원운동의 근원에서 찾아볼 수 있다. 등속원운동을 하는 경우는 언제나 중심방향에서 일정한 크기의 힘, 즉 구심력을 받고 있어야 하며 따라서 이 힘의 $x$, $y$의 성분은 각각 $x$, $y$의 좌표값에 비례하고 원점방향이어서 정확하게 조화력을 가진 것이 된다. 따라서 각각의 축에 대한 운동은 조화운동이 되는 것이다. 또한 이 조화력의 비례상수는 두 축에 대해 동일하므로 같은 각진동수를 갖게 되고, 운동의 범위도 다 같이 반경 $A$와 같아서 진폭도 같다. $x$, $y$ 의 운동의 위상만이 초기조건에 따라 달리 주어지게 된다. (위상차이는 두 축이 이루는 각으로 $\pi/2$ 이다)

그렇다면 앞에서 생각해 보았던 지구의 공전운동에서의 구심력, 즉 지구가 태양으로부터 받는 힘의 형태가 두 축으로 용수철을 연결한 것과 같은 형식일까? 그러나 이것은 그렇지 않다. 잘 알다시피 지구는 태양과의 거리에 반비례하는 인력의 힘을 받게 되고, 용수철의 경우는 거리에 비례하는 인력의 힘을 받게 된다. 원운동을 하는 지구가 결코 태양과의 거리가 변경되지 않기 때문에 거리에 의존하는 중력은 궤도 어디에서나 같은 크기의 값을 갖는다. 단지 그 방향만 바뀌면서 힘의 한 축으로의 성분이 복원력과 같은 형태가 되고 이는 원운동의 반경이 바뀐다면 성립하기 않는다. 따라서 애초에 지구가 태양을 향해 떨어지다가 태양을 통과하는 직선상의 운동을 한다면 그 운동은 진동이기는 하지만 단진동이 아니다.

원운동이 일어나는 경우는 어떠한 퍼텐셜하에서라도 상관없지만 단지 중심을 향하는 인력이 거리에만 그 크기가 의존하는 형태로 주어져 있으면 된다. 심지어 줄에 매달린 물체를 돌리는 것처럼 퍼텐셜을 도입하기 곤란한 경우에도 있을 수 있다. 따라서 원운동은 진동과는 별개의 운동으로 보아야 할 것이다.

[질문1] '원운동과 조화진동의 관계'의 그림에서 원운동을 하는 물체의 회전반경 $A=5.0 \text{m}$이고 1 초에 두 바퀴를 돌고있다. 시간 $t=0$에 $x$ 축을 지나는 조건일 때, $y$축의 그림자 운동의 진동수와 주기, 각진동수, 진폭은 얼마인가? 또한 $x$와 $y$축의 그림자의 운동을 시간의 함수로 표현하라.

_ 조화진동_ 각진동수_ 복원력_ 진폭_ 위상_ 주기