기체분자운동 실험2

이론 4

이상기체의 속력분포함수

차원의 이상기체의 에너지에 대한 확률밀도함수를 속력에 대한 것으로 변환할 수 있다.

를 이용하면,

1차원의 경우

2차원의 경우

3차원의 경우

위에서 구한 이상기체가 특정한 온도 로 유지될 때 구성 입자들의 속력분포함수 는 1859년 맥스웰(Clerk Maxwell)이 처음으로 구할 수 있었다. 맥스웰은 당시까지의 분자의 평균속력 개념을 더욱 발전시켜 기체분자운동론에 입각하여 분자의 속력분포함수를 구하고, 뒤이어 볼츠만(L. Boltzman)은 초기에 어떤 특정한 속력의 분포를 하고 있더라도 분자들간의 충돌의 결과로 이 속력분포로 이르게 되는 것을 증명하였다. 이에 따라 이상기체의 속력분포함수를 맥스웰 분포함수나 맥스웰-볼츠만 분포함수라고 하게 된 것이다.

한편 속력분포함수로부터 몇가지 의미있는 속력 값을 이끌어낼 수 있다. 그 중 하나는 가장 확률이 높은 속력으로 함수가 피크 값을 가질 때의 속력(최빈속도) 가 있다. 이것은 많은 비율의 분자가 이 속력 주변에 몰려 있는 것을 말하며, 이 값은 의 조건에서 구할 수 있다. 3차원의 경우 이 값은 다음과 같다.

또한 평균속력 는 속력의 기대값으로서 로 부터 계산되어,

무엇보다도 의미가 큰 것은 속력의 RMS 값(RMS 속력)으로 속도제곱 기대값의 제곱근으로 계산된다. 즉, 로서,

속력분포함수의 그래프로부터 알 수 있듯이 이 함수는 종 모양을 이루고 있지만 피크값을 중심으로 대칭인 형태는 아니다. 속력의 하한은 당연히 0 이며 상한은 없다. 또한 온도가 올라가면 피크값은 빠른 속력 쪽으로 이동하게 되며 따라서 그래프는 점차 폭이 넓어지게 된다.