기체분자운동 실험2

프로그램

프로그램은 '기체분자운동 실험'의 경우와 거의 비슷한 상황이지만 여기서의 입자는 3차원으로 운동할 수 있고 정육면체 용기 속에 갇혀 있다.

상자 속의 입자는 각 차원당 의 평균운동에너지를 가지고 있으므로 설정한 온도 값에 해당하는 평균 운동에너지를 다음과 같이 갖도록 하였다.

또한 기체의 열적인 운동만을 만들기 위해서 전체의 운동량 벡터의 평균값은 0으로 두어 기체 분자가 특정한 방향으로 이동하지는 않는 상황으로 하였고, 또한 평균운동에너지도 각 차원별로 동등하게 분배해 가지도록 하였다.

이렇게 초기값이 주어진 입자들은 시간이 흐름에 따라 오직 입자 서로 간에나 벽과의 탄성충돌에 의해 입자들의 운동에너지와 운동량이 서로 교환된다. 따라서 공간적인 분포나 속도 분포, 에너지 분포 등이 쉴 새 없이 변하게 되지만 입자의 수가 많거나 오랜 시간에 대해 평균을 취하면 기체와 같은 열적 평형상태를 나타낼 것으로 기대할 수 있다.

여기서도 2차원의 경우와 마찬가지로 속력의 분포나 벽이 받는 압력을 시간평균하여 화면의 오른쪽 면에 나타내었고 이로부터 속도분포함수의 형태와 함께 압력과 부피, 온도 사이의 관계가 어떻게 되는지를 따져볼 수 있게 하였다.

또한 앞서 유도한 다음 3차원의 맥스웰 분포함수를 히스토그램에 겹쳐서 나타내어 모의실험의 결과와 비교할 수 있도록 하였다.

화면 아래의 조절판을 통하여 입자의 수와 반경, 그리고 계의 온도를 변경할 수 있다. 온도는 0 ~ 10 J 까지, 입자의 수는 3 개, 5 개, 10 개, 15 개, 20 개, 30 개, 50 개, 100 개, 150 개, 200 개, 공의 반경은 3 cm, 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm 의 고정값과 3~30 cm의 무작위의 값으로 줄 수 있고 이를 변경하면 처음부터 실험이 다시 개시된다.

모든 공은 색에 관계없이 1 kg 의 질량을 하고 있으며, 입자가 갇혀있는 3차원의 상자의 규모는 상자의 왼편 위에 표시한 것처럼 수 m 정도의 크기를 갖는다. 화면 오른편의 그래프는 아래에 0 ~ 10 m/s의 속도분포를, 위에는 6개의 각 벽에 작용하는 압력을 막대그래프로 그리고 있다. 일정한 시간간격으로 샘플링을 하여 이를 평균 취한 것으로 시간이 흘러서 많은 데이터가 취득되면 점차 일정한 형태를 가진 평균값으로 가게 된다. 왼편의 입자의 움직임은 실시간에 비하여 1/2로 느리게 하여 보여준다.

실험방법

[1] 맥스웰 분포함수의 모의실험

1. 온도를 1.0 ~ 10.0 J의 범위에서 1.0 J 간격으로 변화시켜가면 각각의 온도에 해당하는 분포함수의 이론 그래프를 잘 살펴보고, 또한 오랜 시간 운동을 '실행' 시켜 히스토그램이 이론값과 점차 일치해 가는 것을 잘 관찰해 보자. 이때 이론값과 일치해 가는데 걸리는 시간은 온도와 어떤 관계가 있는지를 알아보자. 히스토그램의 상단에 'dev. (1E-5)' 로 표시한 값은 10^-5의 단위로 계산한 편차이다. 이 값이 50 정도의 작은 값을 나타낼 때까지의 'sampling #'를 비교할 수 있을 것이다.

2. 온도를 5.0 J로 고정하고 입자의 수를 3 개에서 200 개 까지 변화시키면서 이론 그래프와 히스토그램이 일치하는지를 살펴보자. 이때 입자의 수가 적으면 이론 그래프를 잘 따르지 않고 히스토그램이 상한을 가지게 된다. 이렇게 되는 이유는 무엇인가? 만일에 상자의 주변에 열저장체를 설치하고, 이와 에너지를 주고받는 경우라도 이러한 상황이 생길까?

3. 입자의 수와 공의 수를 일정하게 하고 공의 반경을 변화시켜가며 같은 실험을 되풀이 하자. 이때 이론값과 일치해 가는데 걸리는 시간은 입자의 수와 어떻게 관련되어 있을까?

[2] 보일-샤를의 법칙의 모의실험

1. 오른편 상단에 각 벽이 받는 압력과 이들의 평균값이 N/m² 를 단위로 표시되어 있다. 온도 , 입자의 수 , 용기의 부피 와 압력 와의 관계가 다음과 같은 지를 알아보는 실험이다.

여기서는 를 온도의 단위로 하였기 때문에 J 단위의 온도 와는 의 관계가 성립해야 한다. 용기의 부피는 상자 속의 왼편 위에 표시되어 있으며 m²을 단위로 하고 있다. (여기서는 2차원의 운동이기 때문에 압력은 단위 길이가 받는 힘으로 하여 N/m의 간위를 갖고 부피도 m²가 된다)

2. 2. 여러 상황에 따라 이 법칙이 성립하는 여부를 판단해 보자. 특히 입자의 반경이 법칙의 성립에 어떤 영향을 주는지를 알아보고 그 이유를 생각해 보자.

3. 속도분포가 이론값으로 접근하는 것과 관계의 성립여부가 관련되어 있는가?

4. '기체분자운동 실험'에서는 2차원의 입자계에 대한 것이었다. 2차원의 압력과 부피의 단위와 이 실험, 즉 2차원의 압력과 부피의 단위가 어떻게 다르게 나타나는지 해석해 보자. 아울러 압력과 부피를 곱한 값, 즉 PV의 단위는 무엇일까?

[참고] 모의실험의 상황

이 프로그램은 거시적인 상황에서 열적운동을 이해하기 위해 입자의 질량이나 속도와 용기의 크기 등을 우리 눈으로 관찰하기 좋은 초기값으로 주었다. 이에 따라 속력도 0 ~ 10m/s정도로 하여 실시간으로 입자의 움직임을 관찰하기 좋도록 하였고, 또한 입자의 질량도 1kg으로 하였다.

1kg의 질량은 실제의 기체분자를 이루고 있는 입자보다 질량이 10²⁵배 이상 무겁고, 이에 따라 입자의 운동에너지도 그 정도로 큰 값을 가지고 있다. 따라서 의 단위로 표시한 온도가 J 정도의 크기이므로 이것이 10J이라하는 것은 실제로 7.24×10²³K 정도의 어마어마한 온도 값을 갖는 것이 된다.

이러한 온도에서는 존재할 수 있는 1kg의 입자가 있다면 위 모의실험에서와 같은 열적 운동을 하는 것을 관찰할 수도 있을 것이다.

이에따라 이 모의실험의 상황을 다음과 같이 보다 더 현실적인 영역으로 옮겨서 생각할 수 있다.

우선 이 프로그램에서의 입자의 질량을 원자량 60 정도인 원자나 분자로 하여 10^-25kg으로 한다면, J 단위의 온도 값에 10^-25를 곱해주어야 한다. 따라서 10J의 온도는 10^-24J이 되고, 이를 K 단위의 온도로 환산하면 0.0724K 정도 된다.

그리고 전체의 입자의 속도를 100배로 크게 한다면 운동에너지는 10,000배가 되어 온도 값이 그 배율만큼 커지게 된다. 따라서 앞서의 0.0724K의 온도는 724K의 온도가 되어 모의실험에서의 온도 변경범위가 0 ~ 724K가 되고, 히스토그램의 눈금은 0 ~ 1000m/s 가 되어 실제의 기체의 상황에 보다 가까워진다.