기체분자운동 실험2

이론 3

이상기체의 통계역학적 해석

온도 의 열저장체에 열적으로 붙어있어 그 경계를 통하여 자유롭게 에너지를 주고받는 계를 생각한다. 열적 평형상태에서 이 계가 에너지가 인 특정한 한 미시상태에 있을 확률은 볼츠만 인자인 에 비례한다.

계가 특정한 열적 거시상태에 있을 때 이에 해당하는 미시상태수는 위상공간에서의 체적에 비례한다.

여기서 위상공간(phase space)이라는 것은 계의 각각의 분자가 놀고 있는 위치와 운동량으로 이루어진 공간이다. 병진운동만 의미 있는 질점으로 된 하나의 입자라면 이 위상공간은 공간 3차원과 운동량 3차원으로 총 6차원의 공간이 된다. 따라서 개의 입자라면 모두 차원의 공간이 된다.

위의 두 가지 발상으로 이상기체의 열적 현상을 완전하게 분석할 수 있다. 이상기체라 함은 그들 간에 탄성충돌을 제외한 다른 상호작용이 존재하지 않고, 또한 그것의 크기도 무시할 수 있어 거의 질점으로 볼 수 있는 많은 입자로 구성된 계 이다. 이들은 때때로 이루어지는 충돌에 의해 서로 에너지를 교환하게 되며, 이 과정에서 전체적인 에너지를 잃지 않기 때문에 계속해서 일정한 에너지의 서로 다른 미시상태로 변할 것이다. 또한 이들이 벽과도 탄성충돌을 하므로 실제로 열저장체에 붙어있다해도 주고받는 에너지는 없게 된다.

개의 입자로 이루어진 이상기체의 위상공간은 실제로 의 차원을 하고 있지만 이들은 서로 상호작용을 하지 않으므로 각각을 독립적으로 생각할 수 있다. 따라서 개의 입자를 1개의 입자로 된 계가 번 중첩된 것으로 생각할 수 있게 된다. 뿐만 아니라 각 입자의 에너지는 오직 운동에너지만 있어 위치에 무관하고 단지 운동량에만 의존한다. 따라서 한 입자의 위상공간을 오직 3차원의 운동량 공간만 고려하면 된다. (상호작용이 없다고 했는데 실제로 충돌에 의한 상호작용은 존재한다. 이 충돌은 이상기체가 같은 에너지의 서로 다른 수많은 앙상블을 출현시키는데 기여하게 된다. 따라서 충돌에 의한 에너지의 교환조차 없으면 열적 계라고 부를 수 없을 뿐더러 열적 평형상태, 온도 등의 정의조차 불가능해진다)

1차원 이상기체

개의 입자로 이루어진 이상기체가 1차원 용기 속에 들어 있는 경우를 가정해 보자. 이는 양쪽이 막혀있는 가는 대롱 속의 구슬이나 막대에 꿰여있는 주판알처럼 한 방향으로만의 운동이 허용된 많은 입자들로 구성된 계로서 현실성은 없지만 문제를 단순화시켜 본질을 이해하는데 도움을 준다.

우선 한 입자가 의 에너지로 있을 (미시)상태수를 계산하자. 이에 해당하는 운동량 공간의 범위를 이라 하면, 1차원 공간에서는 가 바로 운동량공간의 체적(실제로는 1차원이므로 길이)이 된다. 위상공간의 체적은 운동량공간의 체적에다가 위치공간의 체적을 곱해야 하지만 이상기체의 경우에는 입자의 모든 상태들은 위치공간의 체적으로 같은 값을 가진다. 따라서 상태수는 운동량공간의 체적에 비례하는 것으로 보면된다. 즉,

따라서 사이에 있는 상태수

가 된다.

한 입자가 온도 의 열저장체에 열적으로 접합되어 있다면 이 입자가 의 범위 내의 특정한 한 상태에 있을 확률은 볼츠만 인자 에 비례하므로 범위 전체에 있을 확률은 다음과 같다.

여기서 는 일정한 비례상수이다.

지금까지는 하나의 입자에 대해 해석하였으나 개의 입자가 뛰노는 차원의 위상공간은 각각 독립적인 1차원의 위상공간이 대등하게 중첩된 것으로 볼 수 있다. 이는 이상기체의 입자들이 서로 상호작용을 하지 않기 때문이다.

따라서 전체의 입자수가 이 되도록 하는 조건으로 다음과 같이 를 정하도록 하자.

으로부터 를 정하여 을 다시 쓰면,

이의 의미를 다시 해석하면 전체 개의 입자 중에서 의 에너지를 가지고 있는 입자의 수가 되고, 는 확률밀도함수가 된다. 이들 입자 전체의 에너지는

이다.

q 차원의 이상기체

앞에서 1차원의 이상기체에 대한 확률밀도함수를 구했다. 만일에 입자가 차원의 공간을 뛰놀고 있다면 어떻게 될까?

역시 의 상태수 를 계산해야 하는데 1차원의 경우와 다른 점이 있다. 한 입자의 운동량공간이 차원이 되어서 사이가 2차원인 경우에는 가락지 같은 원형의 띠가 되고, 3차원의 경우 얇은 두께를 가진 구면, 즉 구곽이 된다. 일반적인 차원이라면 반경이 이고 두께가 인 차원 구껍질의 체적을 계산해야 한다. 이 체적은 에 비례하여

따라서 을 이용하여 을 구하면,

1차원의 경우와 비슷하게 볼츠만 인자를 고려하여 을 구하고, 개의 입자로 규격화하면,

이 된다.