정상상태의 수치해석

수치해석 기법 2

단위계의 고려

원래의 물리법칙에서 나타나는 물리 상수들을 이 경우처럼 적절하게 차원이 없는 양으로 정의하면 식이 간결해지고, 또한 대칭성이 잘 드러나 보인다. 상대성이론에서 빛의 속도 를 1로 두는 것도 하나의 좋은 예이다. 로 두면 거리의 차원과 시간의 차원이 같아져서 이들은 모두 m 나 sec 로 표기된다. 상대론의 변환관계가 간단하게 될 뿐만 아니라 거리와 시간이 통일성을 가진 것이 잘 나타난다. 그러나 이 단위에서 일반적인 속도는 빛의 속도를 단위로 하여 표기 되어 차원이 사라진 양이 된다. 이를 다시 환산하기 위해서는 MKS 단위계서 빛의 속도를 다시 곱해주어야 할 것이다.

, 단위계는 전자의 질량의 2배인 이 질량의 기본단위가 되고, 다른 질량은 이의 배수로서 차원이 없이 정해진다. 그러나 전자와 다른 실제의 질량을 가진 물체에 대해 해석하기 위해서는 역시 다시 질량값이 슈뢰딩거 방정식에 어떤 방식으로든지 들어가야 하고, 이를 해석하기가 까다로우므로 다음과 같이 간편한 해석방식을 택하자. 즉, 보통의 MKS 단위에서 표현되는 에 적당한 축적의 상수를 붙여서 해석하는 것이다.

' 이 붙은 양은 , 로 둔 것과 같게 하는 새로운 축적에서의 것으로 이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리한 후 ' 을 제거하면,

이 식의 좌우에 있는 [ ]의 양이 1 이되면 , 과 같은 효과를 볼 수 있다. 따라서 이를 만족하는 를 고르면 된다. 만일 질량 을 특정한 것으로 고정하는 경우, 셋중 하나는 마음대로 정할 수 있다. 이에 따라 '파동묶음의 운동 모의실험'에서는 질량을 3.48 x 10^-30 kg 으로 하고, 길이를 원자의 규모에 맞게 0.1 nm로 정하였다.

입자가 전자인 경우로 하여 9.109 x 10^-31 kg 으로 고정하고 에너지를 eV를 기본단위로 택한다면,

길이의 단위 = 1.95 x 10^-10m = 0.195 nm

시간의 단위 = 6.59 x 10^-16 sec

에너지의 단위 = 1.602 x 10^-19 Joule = 1 eV

이 된다. 여기서의 수치해석 프로그램에서는 이 단위로 값을 횐산하여 표시하지만 축적을 다르게 선택할 수도 있다.