정상상태의 수치해석

수치해석 기법

격자의 파동함수에 대한 수열관계식

1차원의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 , 로 둔 단위로 쓰면,

이다. 이 방정식을 풀이한다는 것은 이를 만족하는 특정한 와 를 동시에 구하는 일이다. 특히 는 물리적으로 합당하게 주어져야 하므로 보통의 경우 가 아무 값이나 가지지 못하고 특정한 값만이 가능하다. 여느 미분방정식을 풀이하는 것보다 어려운 점은 바로 특정한 를 잘 선택해야 하고 아울러 이에 대한 고유함수 를 구해야 하는 점이다.

이제 축을 의 간격으로 띄엄띄엄한 격자로 잡는다.

와 도 에서만 정의하여 다음의 수열로 표현한다.

만일 를 작은 값으로 하면 는 연속적으로 주어지는 의 정보를 거의 가진다고 할 수 있다. 이제 이들 이산적인 값들 사이의 관계를 슈뢰딩거 방정식으로부터 찾는다. 우선 를 에 대해 미분한 근사식은

이다. 여기서의 은 에 비례하는 오차를 가진다는 것이다. 위 식에서 두번째나 세번째의 것은 같은 정도의 오차를 가진 것으로 전후의 두 함수값이 계산에 관여되어 있기 때문에 2점 공식이라 한다. 한편 비록 이 0으로 접근할 때에는 앞의 것과 뒤의 것이 모두 정확한 값을 준다 할지라도 컴퓨터로 계산할 때에는 이를 지나치게 작게 잡을 수 없다. 즉, 을 작게 잡으면 파동함수의 수열이 매우 커져서 컴퓨터의 연산시간이나 기억용량의 한계에 이르기 때문이다. 따라서 현실적으로 을 적절한 크기로 잡아야 해서 보다 정교한 근사식이 필요할 수 있다. 이 중 하나는 3점 공식이라 일컫는 다음 식이 있다.

이제 2계미분은 1계미분을 두 번 적용하면

으로 이 관계는 역시 세 점에서의 이 관련되어 있어 3점 공식이라 한다. 물론 이보다 정교한 여러가지 식이 있지만 일반적인 상황을 이해하는데 크게 달라질 것이 없으므로 여기서는 더 고급의 수치해석에 대한 언급은 하지 않는다. 그리고 각 식에 필연적으로 따라붙여야 할 등도 생략하자.

이제 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 파동함수의 수열 의 관계로 다시 쓴다.

따라서 퍼텐셜과 에너지로부터 계산되는 의 수열이 주어진다면 이 식은 사이의 점화관계식이 된다. 즉 인접한 두 지점의 를 알면 이들 주변의 값을 구할 수 있고, 이로부터 모든 지점의 를 알수 있게된다. 실제로 인접한 두 지점이 아니라도 괜찮다. 이는 2계미분방정식이 두 지점에서의 함수값을 알거나 한 지점의 함수값, 다른 한 지점에서의 미분값을 알면 함수가 확정된다는 일반적인 이론과 부합된다.

왼쪽 가장자리 두 점의 함수를 알고, 순차적으로 오른쪽으로 전개하는 경우로 앞 식을 다시 정리하면,

이다.