정상상태의 수치해석

이론 3

정상상태의 일반적인 성질

슈뢰딩거 방정식을 다음처럼

쓰자. 여기서 는 항상 양의 값이므로 의 부호에 따라 의 행동이 달라지는 것을 쉽게 예상할 수 있다.

우선 인 경우에는 항상 는 와 부호가 같다. 따라서 가 + 인 경우에는 도 + 값으므로 아래로 볼록한 함수가 되어야 하여 가 +의 기울기를 가졌다면 점점 더 기울어져야 하고, - 의 기울기를 가졌다면 점점 완만해져야 한다. 따라서 앞의 경우에는 0 을 지날 가능성이 없이 기하급수적으로 가 커진다. 그러나 뒤의 경우에는 0을 지날 가능성이 있다. 이제 가 - 인 경우에는 반대 상황이다. 도 - 값이므로 위로 볼록한 함수가 되어야 하고, 따라서 - 기울기를 가진 경우에는 기하급수적으로 감소하게 된다. 반면에 + 기울기를 가진 경우에는 더 완만해 져서 0 점을 지날 가능성이 있다. 즉, 가 + 이거나 - 이거나 취하는 행동은 축을 중심으로 대칭이다. 한편 0 을 막 지난 후에는 의 행동이 극적으로 달라지기 때문에 다시 되돌아와서 0 을 지나는 형태, 즉 진동의 양상이 결코 나타날 수 없다. 만일 가 로서 일정하다면, 파동함수는

으로 지수함수적으로 감소하거나 증가하는 함수가 된다.

이제 인 경우는 앞의 해석과 반대이다. 즉 가 + 이면, 위로 볼록하고, - 이면 아래로 볼록해야 한다. 따라서 증가하거나 감소하고 있더라도 0 으로 되돌아 오는 방향이 되고, 0을 지나게 되면 다시 되돌아 올 가능성이 있다. 따라서 이 경우에는 0 을 중심으로 파동함수가 보통의 파동처럼 진동을 하는 모양이 되고 그 정도는 에 의존할 것이다. 즉 이 크면 축을 따라서 빈번하게 의 부호가 바뀌며, 따라서 파장이 작은 파형을 할 것이다. 만일 가 로서 일정하다면, 파동함수는

로서 일정한 파장, 파수의 진동모양을 하게 된다.

이상의 결과를 정리하면,

1. 모든 에서 이라면 적합한 해가 없다. 모든 지점에서 가 + 의 영역에서는 아래로 볼록하고, - 의 영역에서 위로 볼록한 조건과 에서 가 0 이라는 기본적인 경계조건을 만족하는 상황을 만들 수 없기 때문이다. 이 경우는 고전적인 해 역시 없다.

2. 모든 에서 이라면 모든 에서 진동하는 형태이다. 따라서 이 경우에는 에서 조차 진동이 계속될 수 밖에 없어 규격화에서 약간의 문제가 있으나 허용되지 않는 것은 아니다. 여기서는 의 값이 어떻더라도 관계없기 때문에 연속적인 스펙트럼을 가진다.

3. 한정된 영역에서만 인 경우 고전적으로는 그 영역에서만 실제 입자가 뛰놀 수 있다. 그 영역에서만 가 진동형이 되고, 이 바깥에서는 앞의 1의 경우가 되므로 방향으로 지수함수적으로 감소하여 에서는 가 0 이 되어야 한다. 따라서 이러한 경계조건을 만족하기 위한 가 특별하게 주어지므로 뛰엄뛰엄한 값을 가질 수 밖에 없다. 한편 가 커지면 점점 의 영역도 넓어지고, 아울러 진동하는 그 파장도 점점 줄어들게 되고, 마디의 수는 늘어난다. 의 영역 바깥에서 지수함수적으로 감소하면서 영역내부에서 진동을 하는 것으로 가장 적은 를 가지는 경우는 0을 지나지 않고 반의 진동이 있는 경우로서 이것이 바닥상태이다. 첫 번째 들뜬상태는 1개의 마디를 가지고 있고, 두번째 들뜬 상태는 2개의 마디를 가진다. 따라서 번째 들뜬상태는 개의 마디를 가진다.

4. 퍼텐셜의 불연속이 있더라도 파동함수는 연속이고 1계미분연속이어야 한다. 앞의 슈뢰딩거 방정식을 불연속이 있는 전후로 같이 적분하면 다음과 같다.

이제 을 0 으로 보내면 우항은 유한한 함수를 0의 구간으로 적분한 것이어서 0 이 된다. 따라서 1계미분연속이어야 한다. 또한 는 물리인 의미를 가진 함수로서 1가 함수이어야 한다.

5. 함수형의 퍼텐셜이 있으면 1계미분은 연속이 아니다. 이는 앞의 4에서 를 대입하면 오른쪽 적분이 가 되어 에서 그 만큼의 1계미분에 불연속이 있는 것이다.

6. 어떤 영역에서 인 경우 이어야 한다. 이는 이 이므로 가 되어 의미있는 지수함수가 0 일 수 밖에 없기 때문이다.